2/ áp dụng định lí Py - ta - go vào tam tam giác vuông AHB ta có:

AH² + BH² = AB²

=> BH.HC + BH² = AB²

=> BH( HC + BH ) = AB²

=> BH.BC = AB² (1)

áp dụng định lí Py - ta - go vào tam giác vuông AHC ta có:

AH² + HC² = AC²

=> BH.HC + HC² = AC²

=> HC( BH + HC ) = AC²

=> HC.BC = AC² (2)

Từ 1 và 2 ta có:

=> BH.BC + HC.BC = AB² + AC²

=> BC( BH + HC ) = AB² + AC²

=> BC.BC = AB² + AC²

=> BC² = AB² + AC²

Theo định lí Py - ta - go đảo

=> \(\Delta ABC\) vuông tại A (đpcm)

đặt \(\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=k\)

=> x = 2k

y = 4k

thay x = 2k và y = 4k vào P ta có:

\(P=\frac{7x^2+3y^2}{14x^2-3y^2}\)

\(\Rightarrow P=\frac{7\left(2k\right)^2+3\left(4k\right)^2}{14\left(2k\right)^2-3\left(4k\right)^2}\\ P=\frac{7.2^2.k^2+3.4^2.k^2}{14.2^2.k^2-3.4^2.k^2}\\ P=\frac{7.4.k^2+3.16.k^2}{14.4.k^2-3.16.k^2}\\ P=\frac{28k^2+48k^2}{56k^2-48k^2}\\ P=\frac{k^2\left(28+48\right)}{k^2\left(56-48\right)}\\ P=\frac{28+48}{56-48}\\ P=\frac{76}{8}\\ P=\frac{19}{2}\)

Vậy P = \(\frac{19}{2}\)

ta có:

\(\frac{x+5}{2y}=\frac{3}{5}\)

=> \(\frac{x+5}{y}.\frac{1}{2}=\frac{3}{5}\)

=> \(\frac{x+5}{y}=\frac{3}{5}:\frac{1}{2}=\frac{6}{5}=1,2\)

vậy \(\frac{x+5}{y}=1,2\)