\(\left(2x-1\right)^3-8x^2\left(x+1\right)+1\)

\(=8x^3-12x^2+6x-1-8x^3-8x^2+1\)

\(=-20x^2+6x\)

Ta có: \(x+y=m\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=m^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy=m^2\)

\(\Leftrightarrow2xy=m^2-n\)

\(\Leftrightarrow xy=\dfrac{m^2-n}{2}\)

\(P=x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)

\(=m^3-\dfrac{3\left(m^2-n\right)}{2}.m\)

Vậy...

\(\dfrac{x+4}{2011}+\dfrac{x+3}{2012}=\dfrac{x+2}{2013}+\dfrac{x+1}{2014}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+4}{2011}+1+\dfrac{x+3}{2012}+1=\dfrac{x+2}{2013}+1+\dfrac{x+1}{2014}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+2015}{2011}+\dfrac{x+2015}{2012}-\dfrac{x+2015}{2013}-\dfrac{x+2015}{2014}=0\)

\(\Rightarrow\left(x+2015\right)\left(\dfrac{1}{2011}+\dfrac{1}{2012}-\dfrac{1}{2013}-\dfrac{1}{2014}\right)=0\)

Mà \(\dfrac{1}{2011}+\dfrac{1}{2012}-\dfrac{1}{2013}-\dfrac{1}{2014}\ne0\)

\(\Rightarrow x+2015=0\Rightarrow x=-2015\)

Vậy x = -2015

\(x^5+x+1=x^5+x^4+x^3-x^4-x^3-x^2+x^2+x+1\)

\(=x^3\left(x^2+x+1\right)-x^2\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=\left(x^3-x^2+1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(\dfrac{x+2}{327}+\dfrac{x+3}{326}+\dfrac{x+4}{325}+\dfrac{x+5}{324}+\dfrac{x+349}{5}=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+2}{327}+1+\dfrac{x+3}{326}+1+\dfrac{x+4}{325}+1+\dfrac{x+5}{324}+1+\dfrac{x+349}{5}-4=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+329}{327}+\dfrac{x+329}{326}+\dfrac{x+329}{325}+\dfrac{x+329}{324}+\dfrac{x+329}{5}=0\)

\(\Rightarrow\left(x+329\right)\left(\dfrac{1}{327}+\dfrac{1}{326}+\dfrac{1}{325}+\dfrac{1}{324}+\dfrac{1}{5}\right)=0\)

Mà \(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{327}+\dfrac{1}{326}+\dfrac{1}{325}+\dfrac{1}{324}+\dfrac{1}{5}\right)\ne0\)

\(\Rightarrow x+329=0\Rightarrow x=-329\)

Vậy x = -329

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{3}=3\)

Dấu " = " khi a = b = c = 1

Vậy \(MIN_{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}=3\) khi a = b = c = 1

\(2u\left(1+u-v\right)-v\left(1-2y+v\right)\)

\(=2u+2u^2-2uv-u+2uv-v^2\)

\(=u+2y^2-v^2\)

a, Ta có: \(2-\left(x-1\right)^4\le2\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{-1}{2-\left(x-1\right)^4}\le\dfrac{-1}{2}\)

Dấu " = " khi \(\left(x-1\right)^4=0\Rightarrow x=1\)

Vậy \(MAX_A=\dfrac{-1}{2}\) khi x = 1

b, \(B=-x^2+x-3\)

\(=-\left(x^2-x+3\right)\)

\(=-\left(x^2-2.x.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{11}{4}\right)\)

\(=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{11}{4}\le\dfrac{-11}{4}\)

Dấu " = " khi \(-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(MAX_B=\dfrac{-11}{4}\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

\(A=2x^2+4x+4+y^2-4y\)

\(=2x^2+4x+2+y^2-4y+4-2\)

\(=2\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2-2\ge-2\)

Dấu " = " khi \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x+1\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(MIN_A=-2\) khi x = -1 và y = 2

Ta có thể có nhiều số. Ví dụ, ta lấy tất cả =777 thì ta có:

6+1=7;3+4=7;1+6=7.=> 631 có thể cộng với 146 để có 3 chữ số giống nhau.

Tương tự, ta có thể dùng trường hợp của 8. 6+2=8;3+5=8;1+7=8.=> 631 có thể cộng  với 257để có 3 chữ số giống nhau. 

                                                        của 9. 6+3=9;3+6=9;1+8=9.=> 631 có thể cộng với 368 để có 3 chữ số giống nhau.

Do các số tìm phải là số lẻ nên => Chỉ có số: 257 cộng với 631= 777( số có 3 chữ số giống nhau)

Vậy số cần tìm là 257.