a, \(A=3^{100}-3^{99}+3^{98}-3^{97}+...+3^2-3+1\)

\(\Rightarrow3A=3^{101}-3^{100}+3^{99}-3^{98}+...+3^3-3^2+3\)

\(\Rightarrow4A=3^{101}+1\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{3^{101}+1}{4}\)

Vậy...

b, tương tự

5 x 1 = 5

5 x 5 = 25

5 x 2 = 10

5 x 6 = 30

5 x 8 = 40

a, \(x^2-x-y^2-y\)

\(=\left(x-y\right)\left(x+y\right)-\left(x+y\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left(x-y-1\right)\)

b, \(a^3-a^2x-ay+xy\)

\(=a^2\left(a-x\right)-y\left(a-x\right)=\left(a^2-y\right)\left(a-x\right)\)

c, sai đề?

d, \(x^3-x+3x^2y+3xy^2+y^3-y\)

\(=\left(x+y\right)^3-\left(x+y\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-1\right]\)

\(=\left(x+y\right)\left(x+y-1\right)\left(x+y+1\right)\)

a, \(-\left|3,4-x\right|\le0\Rightarrow A=0,5-\left|3,4-x\right|\le0,5\)

Dấu " = " khi \(-\left|3,4-x\right|=0\Rightarrow x=3,4\)

Vậy \(MAX_A=0,5\) khi x = 3,4

b, \(\left|x-\dfrac{1}{2}\right|\ge0\Rightarrow B=\left|x-\dfrac{1}{2}\right|+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

Dấu " = " khi \(\left|x-\dfrac{1}{2}\right|=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(MIN_B=\dfrac{3}{4}\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

Số thứ nhất (ST1) ; Số thứ hai (ST2)

Ta có:

ST1 + ST2 = 19,1     (a)

(ST1) / 4 +  ST2 = 7,4   (b)

Gấp 4 lần tổng mới , tức là gấp 4 lần 2 vế của (b) ta được:

ST1 + 4 x ST2 = 7,4 x 4 

ST1 + 4 x ST2 = 29,6  Tổng này hơn tổng (a) là 3 lần ST2 , bằng 29,6 - 19,1 = 10,5

Số thứ hai là: 10,5 : 3 = 3,5 

Số thứ nhất là 19,1 - 3,5 = 15,6

Giải:

Vẽ tam giác ABC vuông tại A, kẻ \(AH\perp BC\)

Ta có: \(\widehat{C}+\widehat{A_2}=90^o\left(\widehat{H}=90^o\right)\)

\(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{A_1}\)

Tương tự, \(\widehat{B}=\widehat{A_2}\)

Xét \(\Delta AHC,\Delta BAC\) có:

\(\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90^o,\widehat{B}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta HAC\)\(\sim\)\(\Delta HBA\left(g-g\right)\)

Tương tự, \(\Delta AHC\)\(\sim\)\(\Delta BAC\left(g-g\right)\) và

\(\Delta AHB\)\(\sim\)\(\Delta CAB\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{HC}{AC}\\\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{HB}{AB}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC^2=HC.BC\\AB^2=HB.BC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=HC.BC+HB.BC\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=\left(HC+HB\right)BC\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrowđpcm\)

a, \(x^4-4x^2+4x-1\)

\(=x^4-x^3+x^3-x^2-3x^2+3x+x-1\)

\(=x^3\left(x-1\right)+x^2\left(x-1\right)+3x\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\)

\(=\left(x^3+x^2+3x+1\right)\left(x-1\right)\)

b, sai đề không?

a, \(x^2+14x+48\)

\(=x^2+14x+49-1\)

\(=\left(x+7\right)^2-1\)

\(=\left(x+6\right)\left(x+8\right)\)

\(A=\dfrac{x^3-27}{x-3}+5x\)

\(=\dfrac{\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)}{x-3}+5x\)

\(=x^2+8x+9\)

\(=x^2+8x+16-7\)

\(=\left(x+4\right)^2-7\ge-7\)

Dấu " = " khi \(\left(x+4\right)^2=0\Leftrightarrow x=-4\)

Vậy \(MIN_A=-7\) khi x = -4

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel và \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) có:
\(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}=\dfrac{x^4}{xy}+\dfrac{y^4}{yz}+\dfrac{z^4}{xz}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+xz}\)

\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge1\)

Dấu " = " khi x = y = z = \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Vậy...