Tìm \(x,y,z\in N\) thoả mãn: \(\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M=\dfrac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}\)

Biết phương trình \(\left(m-2\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m=0\) có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

Tính giá trị của biểu thức \(P=\dfrac{4\left(x+1\right)x^{2018}-2x^{2017}+2x+1}{2x^2+3x}\) tại \(x=\sqrt{\dfrac{1}{2\sqrt{3}-2}-\dfrac{3}{2\sqrt{3}+2}}\)

Cho a, b là các số nguyên dương thoả mãn \(P=a^2+b^2\) là số nguyên tố và \(P-5\) chia hết cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thoả mãn \(ax^2-by^2\) chia hết cho P. Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho P

Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn \(x\ge z\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{xz}{y^2+yz}+\dfrac{y^2}{xz+yz}+\dfrac{x+2z}{x+z}\ge\dfrac{5}{2}\)

Tìm các cặp số nguyên x, y thoả mãn: \(2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy\)