Cho 10 số nguyên dương \(a_1,a_2,a_3,...,a_{10}\) thoả mãn điều kiện: \(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+...+\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{11}{2}\). Chứng minh rằng có ít nhất 2 trong 10 số nguyên dương trên bằng nhau

Cho a, b là 2 số thực dương thoả mãn: \(a-\sqrt{ab}-6b=0\). Tính giá trị của biểu thức: \(P=\dfrac{a+b}{a+\sqrt{ab}+b}\)

Cho x, y, z là 3 số thực dương và thoả mãn: \(4x^2+9y^2+16z^2=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=\dfrac{2x}{9y^2+16z^2}+\dfrac{3y}{4x^2+16z^2}+\dfrac{4z}{4x^2+9y^2}\)

Cho (O;R) có dây cung AB cố định và \(AB=R\sqrt{2}\). Lấy điểm M là điểm di động trên cung lớn AB sao cho \(\Delta MAB\) có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của \(\Delta MAB\) và C, D lần lượt là các gia điểm thứ hai của các đường thẳng AH, BH với (O). Giả sử N là giao điểm của các đường thẳng BC và AD.

a, Tính số đo của các góc \(\widehat{AOB}\) và \(\widehat{MCD}\)

b, Chứng minh đoạn thẳng HN có độ dài không đổi

c, Chứng minh rằng đường thẳng HN luôn đi qua 1 điểm cố định

Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}7x^3+y^3+3xy\left(x-y\right)-12x^2+6x=1\\\sqrt[3]{4x+y+1}+\sqrt{3x+2y}=4\end{matrix}\right.\)

Giải phương trình: \(3\left(x^2-1\right)+4x=4x\sqrt{4x-3}\)

Cho biết \(\dfrac{x}{x^2-x+1}=\dfrac{2}{3}\). Hãy tính giá trị của biểu thức: \(Q=\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}\)

Rút gọn: \(A=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{4}\right)\left(3^4+\dfrac{1}{4}\right)\left(5^4+\dfrac{1}{4}\right)...\left(51^4+\dfrac{1}{4}\right)}{\left(2^4+\dfrac{1}{4}\right)\left(4^4+\dfrac{1}{4}\right)\left(6^4+\dfrac{1}{4}\right)...\left(52^4+\dfrac{1}{4}\right)}\)