Tồn tại hay không tồn tại 2019 số \(a_1,a_2,a_3,...,a_{2019}\) nguyên lẻ thoả mãn đẳng thức: \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{2018}^2=a_{2019}^2\)

Cho 3 số thực dương x, y, z thoả mãn \(x+y+z=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y^3}{z^3+8}+\dfrac{z^3}{x^3+8}-\dfrac{2}{27}\left(xy+yz+zx\right)\)

Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+3\sqrt{xy+x-y^2-y}=5y+4\\\sqrt{4y^2-x-2}+\sqrt{y-1}=x-1\end{matrix}\right.\)

Giải phương trình: \(x^4\sqrt{x+3}=2x^4-2016x+2016\)

Cho 3 số a, b, c khác O thoả mãn: abc=1 và \(\dfrac{a}{b^3}+\dfrac{b}{c^3}+\dfrac{c}{a^3}=\dfrac{b^3}{a}+\dfrac{c^3}{b}+\dfrac{a^3}{c}\). Chứng minh rằng: Trong 3 số a, b, c luôn tồn tại một số là lập phương của một trong hai số còn lại

Chứng minh rằng với a > \(\dfrac{1}{8}\) thì số sau đây là một số nguyên dương: \(x=\sqrt[3]{a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}\)

Tìm các số hữu tỉ x, y thoả mãn đẳng thức: \(x\left(\sqrt{2019}+\sqrt{2018}\right)+y\left(\sqrt{2019}-\sqrt{2018}\right)=\sqrt{2019^3}+\sqrt{2018^3}\)

Cho các số dương a, b, c thoả mãn: \(a+b+c=2019\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)

Giải phương trình: \(5x^2+8x+8=5\left(x+1\right)\sqrt{x^2+4}\)

Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+\sqrt{x^2-y^2}=12\\y\sqrt{x^2-y^2}=12\end{matrix}\right.\)