\(x^2\left(x^2+2y^2-3\right)+\left(y^2-2\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^2y^2-3x^2+y^4-4y^2+4=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)-\left(4x^2+4y^2\right)+4+x^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2-4\left(x^2+y^2\right)+4=1-x^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2-2\right)^2=1-x^2\le1\)

\(\Leftrightarrow-1\le x^2+y^2-2\le1\Rightarrow1\le x^2+y^2\le3\)

a) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đúng\forall a;b\right)\)

Vậy bdt đã được cm

b) \(K=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=\left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)\)

Ta có :

\(\left(n^2+3n\right)^2< \left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)< \left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)+1\)

\(\Leftrightarrow\left(n^2+3n\right)^2< \left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)< \left(n^2+3n+1\right)^2\)

Mà \(n^2+3n;n^2+3n+1\) là 2 số tn liên tiếp

\(\Rightarrow K\) không phải số chính phương

Cũng theo mình sẽ làm cách giải khác đó

Hiệu hai số là:8x2)+1+1=18

Số lớn là:(134+18):2=76

Số bé là:134-76=58

a) \(x^4-30x^2+31x-30=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4+x\right)+\left(-30x^2+30x-30\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)-30\left(x^2-x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x-30\right)\left(x^2-x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x+6\right)\left(x^2-x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-6\end{matrix}\right.\)

Từ \(3x+y-1=0\Rightarrow y=1-3x\)

\(\Rightarrow P=3x^2+y^2=3x^2+\left(1-3x\right)^2=3x^2+9x^2-6x+1\)

\(=12x^2-6x+1=12\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\forall x\) có GTNN là \(\dfrac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4}\)

\(PT\Leftrightarrow2x^2-2xy+xy-y^2+8=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x-y\right)+y\left(x-y\right)=-8\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)\left(x-y\right)=-8\)

\(\Rightarrow\) \(2x+y;x-y\) thuộc ước của - 8 là \(\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8\right\}\)

Xét từng TH là ra nhá bn

Từ \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\right)\left(a+b+c\right)=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}+a+b+c=a+b+c\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0\)

\(A=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3\)

\(=n^3+n^3+3n^2+3n+1+n^3+12n+6n^2+8\)

\(=3n^3+9n^2+15n+9\)

\(=3\left(n^3+5n\right)+9\left(n^2+1\right)\)

Ta thấy \(n^3+5n=n^3-n+6n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+6n\)

Vì \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\) và \(6n⋮3\) với n nguyên

\(\Rightarrow n^3+5n⋮3\Rightarrow3\left(n^3+5n\right)⋮9\)

Mà \(9\left(n^2+1\right)⋮9\forall n\in Z\) nên \(3\left(n^3+5n\right)+9\left(n^2+1\right)⋮9\)

Hay \(A⋮9\) (đpcm)