a) \(n^3-4n=n^3-n-3n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-3n\)

luôn chia hết cho 3 với mọi n  

=> ĐPCM >>>>

b) \(pt\Leftrightarrow2\left(x+5\right)^2=27-3y^2\) (1) 

Từ (1) => vp chẵn => y lẻ 

Vì 2\(\left(x+5\right)^2\ge0\) với mọi x => \(27-3y^2\ge0\Leftrightarrow3y^2\le27\Leftrightarrow y^2\le9\Leftrightarrow-3\le y\le3\) 

Vì y lẻ và y thuộc Z => y thuộc ( -3 ; -1 ; 1 ; 3 ) 

(+) với y = -3 ; 3 => \(2\left(x+5\right)^2=27-3\cdot9=0\)

<=> x = -5 

(+) với y = +-1 => \(2\left(x+5\right)^2=27-3=24\)

<=> (x+5)^2 = 12 ( loại do x thuộc Z ) 

Vậy phương trình (1) cớ hai nghiệm nguyên là ( -3 ; - 5 ) và ( 3 ; 5 ) 

 a] 
Ta có: ADHE là hình chữ nhật => DE =AH 
mà AH^2 = HB.HC = 36 
=> DE=AH =9 

b] 
Do ADHE là h.c.n => ^ADE = ^AHE 
mà ^AHE = ^ACH (góc có cạnh t/ư vuông góc) 
=> ^ADE = ^ACB (*) 
=> tg ADE ~ tg ABC (do * và có chung góc vuông) 
=> AD/AE = AC/AB 
=> AD.AB = AC.AE 

c] 
Ta có ^MDH = ^ADE (do cùng phụ ^HDE) 
mà ^ADE = ^ACB = ^BHD (theo cm trên và DH//AC) 
=> tg DMH cân => BM=DM=MH 

c/m tương tự HN=NC = EN

Ta có :

\(10^n-9n-1=\left(10^n-1\right)-9n=99999.....99999-9n\)(n chữ số 9)

\(=9\left(1111.....111-n\right)\)(n chữ số 1)

Thấy : \(1111.....111\)(n chữ số 1) có tổng các chữ số là n

Nên \(1111....111-n⋮3\)

\(\Rightarrow9\left(1111....1111-n\right)\)(n chữ số 1) chia hết cho 27

Hay \(10^n-9n-1⋮27\) (đpcm)

Ta có :

\(21^{30}+39^{21}=\left(21^2\right)^{15}+\left(39^2\right)^{10}.39\)

\(=\left(9.45+36\right)^{15}+\left(33.45+36\right)^{20}.39\)

\(=BS45+36^{15}+BS45+36^{20}.39\)

\(=BS45+36^{15}\left(36^5+19\right)\)

Mà \(36^5+19⋮45\) nên

\(BS45+36^{15}\left(36^5+19\right)=BS45+36^{15}.45a=BS45⋮45\)(đpcm)

Áp dụng bđt AM - GM ta có :

\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{b+a-c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)}}\)

Ta có : \(\left(b+c-a\right)+\left(a+c-b\right)\ge2\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\)

\(\Leftrightarrow2c\ge2\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\Rightarrow c\ge\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\)(1)

Tương tự ta có \(b\ge\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)}\) (2) và \(a\ge\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)}\) (3)

Nhân các vế tương ứng của (1);(2);(3) lại ta được :

\(abc\ge\sqrt{\left[\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)\right]^2}=\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)}\ge1\)

\(\Rightarrow A\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)}}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác độ dài 3 cạnh a;b;c là tam giác đều

Cả -1 nữa chứ gì mình tưởng bạn chưa học âm 

7/6 <9/8

0/100=0/10

tick nhé

\(A=\dfrac{x^2+2x+3}{x^2+2}\)

\(\Leftrightarrow Ax^2+2A=x^2+2x+3\)

\(\Leftrightarrow Ax^2+2A-x^2-2x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(A-1\right)+\left(-2\right)x+\left(2A-3\right)=0\)

Để PT trên có nghiệm thì

\(\Delta=4-4\left(2A-3\right)\left(A-1\right)=1-\left(2A^2-5A+3\right)\)

\(=-2A^2+5A-2=\left(2-A\right)\left(2A-1\right)\ge0\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\le A\le2\)

A đạt min là \(\dfrac{1}{2}\) khi \(-\dfrac{1}{2}x^2-2x-2=0\Rightarrow x=-2\)

A đặt max là \(2\) khi \(x^2-2x+1=0\Rightarrow x=1\)