Question

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A=(x^2+2x+3)/(x^2+2)

Answer 1

\(A=\dfrac{x^2+2x+3}{x^2+2}\)

\(\Leftrightarrow Ax^2+2A=x^2+2x+3\)

\(\Leftrightarrow Ax^2+2A-x^2-2x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(A-1\right)+\left(-2\right)x+\left(2A-3\right)=0\)

Để PT trên có nghiệm thì

\(\Delta=4-4\left(2A-3\right)\left(A-1\right)=1-\left(2A^2-5A+3\right)\)

\(=-2A^2+5A-2=\left(2-A\right)\left(2A-1\right)\ge0\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\le A\le2\)

A đạt min là \(\dfrac{1}{2}\) khi \(-\dfrac{1}{2}x^2-2x-2=0\Rightarrow x=-2\)

A đặt max là \(2\) khi \(x^2-2x+1=0\Rightarrow x=1\)