Để P(x) có nghiệm <=> \(x^2-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2=2\)

\(\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}\)

Vậy \(x=\pm2\) là nghiệm của đa thức P(x)

Ta có \(A=\left|2x-2015\right|+\left|2017-2x\right|+\left|x-1008\right|\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có :

\(A\ge\left|2x-2015+2017-2x\right|+\left|x-1008\right|=2+\left|x-1008\right|\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(2x-2015\right)\left(2x-2017\right)\ge0\) và \(\left|x-1008\right|=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{2015}{2}\le x\le\dfrac{2017}{2}\) và \(x=1008\) \(\Rightarrow x=1008\) (TM)

Vậy GTNN của A là 2 tại \(x=1008\)

\(x-y=9\Rightarrow y=x-9\) thay vào biểu thức B ta được :

\(B=\dfrac{4x-9}{3x+\left(x-9\right)}-\dfrac{4\left(x-9\right)+9}{3\left(x-9\right)+x}=\dfrac{4x-9}{4x-9}-\dfrac{4x-27}{4x-27}=1-1=0\)

Vậy giá trị của B là 0 tại \(x-y=9\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{3^2}{1}=9\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :

\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho 3 số dương a;b;c ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\) )

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=c\) )

\(c+a\ge2\sqrt{ca}\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=c\) )

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

\(\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{10}{3}\Rightarrow\dfrac{x^2+y^2}{10}=\dfrac{xy}{3}\)

Đặt \(\dfrac{x^2+y^2}{10}=\dfrac{xy}{3}=k\) (k > 0)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=10k\\xy=3k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy=10k+2.3k=16k\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=16k\Rightarrow x+y=4\sqrt{k}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-2xy=10k-2.3k=4k\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=4k\Rightarrow x-y=2\sqrt{k}\)

Ta có \(M=\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{2\sqrt{k}}{4\sqrt{k}}=\dfrac{1}{2}\)

Ta có : \(\left(n-1\right)\left(3-2n\right)-n\left(n+5\right)\)

\(=n\left(3-2n\right)-\left(3-2n\right)-n^2-5n\)

\(=3n-2n^2-3+2n-n^2-5n\)

\(=-3n^2-3\)

\(=-3\left(n^2+1\right)⋮3\)

Vậy \(\left(n-1\right)\left(3-2n\right)-n\left(n+5\right)⋮3\)