Gọi A là biến cố : "4 học sinh được chọn có đủ học sinh giỏi, học sinh khá và học sinh trung bình"

Số phần tử không gian mẫu \(\left|\Omega\right|=C^4_{33}=40920\)

Ta có các trường hợp được chọn sau :

(1) Có 2 học sinh giỏi, 1 học sinh khá và 1 học sinh trung bình. Số cách chọn là : \(C^2_{10}.C^1_{11}.C^1_{12}=5940\).

(2)Có 1 học sinh giỏi, 2 học sinh khá và 1 học sinh trung bình. Số cách chọn là : \(C^1_{10}.C^2_{11}.C^1_{12}=6600\).

(3)Có 1 học sinh giỏi, 1 học sinh khá và 2 học sinh trung bình. Số cách chọn là : \(C^1_{10}.C^1_{11}.C^2_{12}=7260\).

Ta được \(\left|\Omega_A\right|=5940+6600+7260=19800\)

Do đó : \(P\left(A\right)=\frac{\left|\Omega_A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{15}{31}\)

Ta có : \(A=\frac{\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\tan\alpha.\cos^2\alpha=\sin\alpha.\cos\alpha=\frac{3}{5}\cos\alpha\left(1\right)\)

\(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}\)  (2)

Vì \(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)\) nên \(\cos\alpha<0\)

Do đó, từ (2) suy ra \(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\) (3)

Thế (3) vào (1) ta được \(A=-\frac{12}{25}\)

 Điều kiện : \(\begin{cases}\cos x\ne0\\\sin2x\ne0\end{cases}\)\(\Rightarrow x\ne\frac{k\pi}{2}\)

Ta có \(\tan x.\cot2x=\left(1+\sin x\right)\left(4\cos^2x+\sin x-5\right)\)\(\Leftrightarrow\tan x.\cot2x=3\sin x-4\sin^3x-1\)

\(\Leftrightarrow1+\tan x.\cot2x=\sin3x\Leftrightarrow\frac{\sin3x}{\cos x.\sin2x}=\sin3x\Leftrightarrow\sin3x\left(\frac{1}{\cos x.\sin2x}-1\right)=0\)

Nghiệm phương trình xảy ra :

- Hoặc \(\sin3x=0\Leftrightarrow x=\frac{n\pi}{3}\), so với điều kiện phương trình có nghiệm là \(x=\frac{\pi}{3}+m\pi,x=\frac{2\pi}{3}+m\pi\)

- Hoặc \(\sin2x\cos x=1\Rightarrow\begin{cases}\sin2x=1\\\cos x=1\end{cases}\) với mọi \(\begin{cases}\cos x=-1\\\sin2x=-1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) Vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là : \(x=\frac{\pi}{3}+m\pi,x=\frac{2\pi}{3}+m\pi,m\in Z\)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, với mỗi số thực x, xét các điểm A(c; x+1); \(B\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\) và \(C\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\)

Khi đó, ta có \(P=\frac{OA}{a}+\frac{OB}{b}+\frac{OC}{c}\) trong đó a=BC, b=CA, c=AB

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có :

\(P=\frac{OA.GA}{a.GA}+\frac{OB.GB}{b.GB}+\frac{OC.GC}{c.GC}=\frac{3}{2}\left(\frac{OA.GA}{a.m_a}+\frac{OB.GB}{b.m_b}+\frac{OC.GC}{c.m_c}\right)\)

Trong đó \(m_a;m_b;m_c\) tương ứng là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A,B, C của tam giác ABC

Theo bất đẳng thức Côsi cho 2 số thực không âm, ta có

\(a.m_a=\frac{1}{2\sqrt{3}}.\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}\)

         \(\le\frac{1}{2\sqrt{3}}.\frac{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\)

bằng cách tương tự, ta cũng có \(b.m_b\le\frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\) và \(c.m_c\le\frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\)

Suy ra \(P\ge\frac{3\sqrt{3}}{a^2+b^2+c^2}\left(OA.GA+OB.GB+OC.GC\right)\)  (1)

Ta có \(OA.GA+OB.GB+OC.GC\ge\overrightarrow{OA.}\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{GC}.\)   (2)

         \(\overrightarrow{OA.}\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{GC}\)

        \(=\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}\right).\overrightarrow{GA}+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}\right).\overrightarrow{GB}+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}\right).\overrightarrow{GC}\)

        \(=\overrightarrow{OG}.\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+GA^2+GB^2+GC^2\)

        \(=\frac{4}{9}\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)\) \(=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\)        (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(P\ge\sqrt{3}\)

Hơn nữa, bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy  \(P\ge\sqrt{3}\) khi x=0

Vậy min P=\(\sqrt{3}\)

Do  \(x+y=1\Rightarrow y=1-x\) nên \(P=5^{2x}+5^{1-x}=5^{2x}+\frac{5}{5^x}\)

Đặt \(t=5^x\) thì 1\(\le t\le\)5 ( do \(0\le x\le1\))

Xét hàm số \(f\left(t\right)=t^2+\frac{5}{t}\) với \(1\le t\le5\)

Ta có \(f'\left(t\right)=2t-\frac{5}{t^2}=\frac{2t^3-5}{t^2}\)

Do đó có bảng biến thiên

Vậy min P=min f(t) = \(f\left(\sqrt[3]{\frac{5}{2}}\right)\)=\(3\sqrt[3]{\frac{25}{4}}\)

        max P =max f(t) =f(5)=26

Từ giả thiết  suy ra khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song AB, CD bằng 4.

Từ đó, do A, B thuộc Ox nên C(c;4), D(d;4)

Vì 2 đường chéo AC, BD cắt nhau tại I nằm trên đường thẳng y=x nên ta có hệ :

\(\begin{cases}2x=c+1=d+2\\2x=0+4\end{cases}\)

Từ đó tìm được x=2, c=3, d=2.

Vậy C(3;4), D(2;4)

Vì M(1;-1) là trung điểm BC và \(G\left(\frac{2}{3};0\right)\) là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\) từ đó tìm được A(0;2)

Vì tam giác ABC cân tại A nên \(BC\perp MA\) tức là đường thẳng BC đi qua M(1;-1), nhận \(\overrightarrow{MA}=\left(-1;3\right)\) làm vec tơ pháp tuyến.

Do đó đường thẳng BC có phương trình  \(-1\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=0\)

                                                           hay  \(-x+3y+4=0\)

Do tam giác ABC vuông tại A nên MB=MC=MA=\(\sqrt{10}\)

Suy ra B, C nằm trên đường tròn \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\)

Từ đó tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình 

\(\begin{cases}-x+3y+4=0\\\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\end{cases}\)

Giải hệ phương trình thu được (x;y) = (4;0) và (x;y) = (-2;2)

Vậy A(0;2), B(4; 0), C(-2;-2)

Lực lượng vũ trang cách mạng đầu tiên ở Trung Bộ là đội nào?

A. Cứu quốc quân II.

B. Cứu quốc quân III.

C. Đội tự vệ Đỏ.

D. Đội du kích Ba Tơ.

a) Sử dụng công thức \(\frac{1}{\log_ba}=\log_ab\), hơn nữa \(x=2007!\) nên ta có :              \(A=\log_x2+\log_x3+..........\log_x2007\)

    \(=\log_x\left(2.3...2007\right)\)

    \(=\log_xx=1\)

b) Nhận thấy 

\(lg\tan1^o+lg\tan89^o=lg\left(lg\tan1^o.lg\tan89^o\right)=lg1=0\)

Tương tự ta có :

 \(lg\tan2^o+lg\tan88^o=0\)

.................

\(lg\tan44^o+lg\tan46^o=0\)

\(lg\tan45^o=lg1=0\)

Do đó :

\(B=\left(lg\tan1^o+lg\tan89^o\right)+\left(lg\tan2^o+lg\tan88^o\right)+......+lg\tan45^0=0\)

a) \(A=\log_{5^{-2}}5^{\frac{5}{4}}=-\frac{1}{2}.\frac{5}{4}.\log_55=-\frac{5}{8}\)

b) \(B=9^{\frac{1}{2}\log_22-2\log_{27}3}=3^{\log_32-\frac{3}{4}\log_33}=\frac{2}{3^{\frac{3}{4}}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{3}}\)

c) \(C=\log_3\log_29=\log_3\log_22^3=\log_33=1\)

d) Ta có \(D=\log_{\frac{1}{3}}6^2-\log_{\frac{1}{3}}400^{\frac{1}{2}}+\log_{\frac{1}{3}}\left(\sqrt[3]{45}\right)\)

                   \(=\log_{\frac{1}{3}}36-\log_{\frac{1}{3}}20+\log_{\frac{1}{3}}45\)

                   \(=\log_{\frac{1}{3}}\frac{36.45}{20}=\log_{3^{-1}}81=-\log_33^4=-4\)