Bài 15: a, Xét tam giác BMC và tam giác DMA có:

BM = DM (giả thiết)

AM = CM (do M là trung điểm của AC)

Góc BMC = Góc DMA (hai góc đối đỉnh)

=> Tam giác BMC = Tam giác DMA (c.g.c) (đpcm)

=> Góc ADM = Góc MBC (hai góc tương ứng)

mà hai góc ADM và MBC nằm ở vị trí so le trong nên AD // BC (đpcm)

b, + Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:

AM = MC (do M là trung điểm của AC)

BM = DM (giả thiết)

Góc AMB = Góc DMC (hai góc đối đỉnh)

=> Tam giác AMB = Tam giác DMC (c.g.c)

=> AB = DC (hai cạnh tương ứng)

+ ​Mặt khác AB = AC (do tam giác ABC cân) nên AC = DC => Tam giác ACD cân tại C (đpcm)

Bài 13: a, Xét tam giác EDA (\(\overgroup{EDA}\) = 90 độ) và tam giác EHA (góc EHA = 90 độ) có:

EA chung

Góc DEH = Góc HEA (do EA là phân giác của góc DEH)

=> Tam giác EDA = Tam giác EHA (cạnh huyền-góc nhọn)

=> DA = HA (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

b, Vì EF > DF > ED (10 cm > 8cm > 6cm) nên góc EDF > góc DEF > góc EFD (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

c, + Xét tam giác KDA (góc KDA = 90 độ) và tam giác FHA (FHA = 90 độ) có:

Góc DAK = Góc HAF (hai góc đối đỉnh)

DA = HA (chứng minh a)

=> Tam giác KDA = Tam giác FHA (cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

=> DK = HF (hai cạnh tương ứng)

+ Vì tam giác EDA = EHA (chứng minh a) nên ED = EH (hai cạnh tương ứng)

+ Ta có: EK = ED + DK

EF = EH + HF

Mà ED = ED (chứng minh trên) và DK = HF (chứng minh trên) nên EK = EF (đpcm)