Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O). Gọi (K) là đường tròn đi qua hai điểm B C , cắt các đoạn AC,AB lần lượt tại E, F . Giả sử P nằm trong tam giác ABC là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại F và đường thẳng vuông góc với AC tại E. a) Chứng minh bốn điểm A,E,P,F cùng thuộc một đường tròn và AP vuông góc với BC. b) Vẽ đường kính AL của đường tròn (O) . Chứng minh ba điểm P,K, L thẳng hàng và AP=2OK c) Đường thẳng qua P vuông góc với AP cắt đường tròn (O) tạiQ,R. Gọi G,X lần lượt là giao điểm thứ hai của LP với đường tròn (O),(A:AP) . Chứng minh G là trung điểm của đoạn XP và tam giác PRX đồng dạng với tam giác PKQ.

Cho nửa đường tròn (O,R) đường kính BC. Lấy điểm A di động trên nửa đường tròn không trùng với B,C. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC E , là trung điểm của AH. Đường thẳng qua H vuông góc với CE tại K, cắt đường thẳng BA tại D. a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB. b) Chứng minh bốn điểm A, D, C, Kcùng thuộc một đường tròn và AE.BD= AC.BH c) Chứng minh A là trung điểm của đoạn BD và độ dài đoạn CD không đổi khi điểm A di động

Cho tam giác nhọn ABC không cân có hai đường cao AD BE , cắt nhau tại điểm H. Gọi N là trung điểm của đoạn AH ,K là hình chiếu vuông góc của B trên CN,T là giao điểm của đoạn BK với đường tròn đường kính AH. a) Chứng minh AEK+ANK=180 . Từ đó chứng minh bốn điểm A,E,K,Ncùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh NA^2= NK.NC Từ đó chứng minh CT là tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính AH và đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác BDT.

Cho tam giác ABC không cân có đường phân giác AD. Gọi I là giao điểm của AD và đường phân giác của góc ABC . Lấy điểm E trên đoạn AC sao cho CD=CE , lấy điểm F trên đoạn AB sao cho BF=BD a) Chứng minh ID =IE= IF b) Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giácCEI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DFI tại giao điểm thứ hai P; đường tròn ngoại tiếp tam giác BFI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DEI tại giao điểm thứ hai Q. Chứng minh ba điểm P, D, E thẳng hàng và PQ vuông góc với BC

Cho hai đường tròn (O1) và (O2 )cắt nhau tại A ,B . Qua B kẻ đường thẳng d cắt (O1),(O2) lần lượt tại các điểm M N , sao cho B nằm giữa hai điểm M và N. Gọi I là trung điểm của MN. a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác AO1O2 .b) Đường thẳng AI cắt đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác AMN tại giao điểm thứ hai X. b)Chứng minh tam giác XMI đồng dạng với tam giác NAI và tỉ số XM/XN không đổi khi đường thẳng d thay đổi thoả mãn giả thiết.

Cho đường tròn (O) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC. Trên AB, AC lấy các điểm F, E. Gọi R là giao điểm thứ hai của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác AEF và đường tròn (O) . a) Chứng minh tam giác RFB đồng dạng với tam giác REC. b) Chứng minh tam giác RFE đồng dạng với tam giác RBC

Cho đường tròn (O) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC (AB< AC) . Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BC tại D. Đường thẳng qua A vuông góc vớiOD tại H, cắt đường thẳng qua E bất kì trên đoạn AD song song với AC tại F. Gọi R là giao điểm của AF với đường tròn (O) ;K là giao điểm của AB và EF. a) Chứng minh OA^2= OH.OD . và tam giác OHC đồng dạng với tam giác OCD. b) Chứng minh AR / FE . AC / FA c) Chứng minh K là trung điểm của đoạn thẳng EF