Bài 3:

Chọn ngẫu nhiên \(1\) bạn trong \(6\) bạn: \(n\left(\Omega\right)=C^1_6=6\) (cách)

Gọi \(A\) là biến cố: "Bạn được chọn là nam"

Chọn \(1\) bạn nam có \(C^1_1=1\) (cách)

\(\Rightarrow n\left(A\right)=1\)

\(\Rightarrow p\left(A\right)=\dfrac{1}{6}\)

\(\left(3x-1\right)^5=C^k_5\left(3x\right)^{5-k}\left(-1\right)^k\)

\(=C^k_53^{5-k}x^{5-k}\left(-1\right)^k\)

\(ycbt\Leftrightarrow5-k=3\Leftrightarrow k=2\)

\(\Rightarrow C^2_5.3^{5-2}.\left(-1\right)^2=270\)

Vậy hệ số của \(x^3\) trong khai triển là \(270\).

Gọi phương trình đường tròn \(\left(C\right):\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\)

\(\Rightarrow I\left(1;-1\right)\), đồng thời \(I\) cũng là tâm đường tròn \(\left(C\right)\)

\(R=IA=\sqrt{\left(1+2\right)^2+\left(-1-3\right)^2}=5\)

\(\Rightarrow\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=25\)

\(\left(2x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)^4=C^k_4\left(2x^2\right)^{4-k}\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)^k\)

\(=C^k_4.2^{4-k}.x^{8-2k-2k}.\left(-1\right)^k\)

\(=C^k_4.2^{4-k}.x^{8-4k}.\left(-1\right)^k\)

\(ycbt\Leftrightarrow8-4k=0\Leftrightarrow k=2\)

\(\Rightarrow C^2_4.2^{4-2}.\left(-1\right)^2=24\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là \(24\).

\(C^1_n+C^2_n=15\) (Điều kiện: \(n\ge2\))

\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=15\)

\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!}{2\left(n-2\right)!}=15\)

\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}=15\)

\(\Leftrightarrow2n+n\left(n-1\right)=30\)

\(\Leftrightarrow2n+n^2-n=30\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-30=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=5\\n=-6\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{2}{x^4}\right)^5=C^k_5x^{5-k}\left(\dfrac{2}{x^4}\right)^k=C^k_5x^{5-k-4k}.2^k=C^k_5x^{5-5k}.2^k\)

\(ycbt\Leftrightarrow5-5k=0\Leftrightarrow k=1\)

\(\Rightarrow C^1_5.2^1=10\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là \(10\).