a,Ta có: AD = \(\dfrac{1}{3}\) AB => BD = \(\dfrac{2}{3}\) AB

Ta có: EC = 2AE => AE = \(\dfrac{1}{3}\) AC

Xét tam giác ABE và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ B xuống AC, ta có:

S_ABE = \(\dfrac{AE}{AC}\). S_ABC = \(\dfrac{1}{3}\) . S_ABC

Xét tam giác ACD và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ C xuống AB, ta có:

S_ACD = \(\dfrac{AD}{AB}\) . S_ABC = \(\dfrac{1}{3}\) . S_ABC

=> S_ABE = S_ACD = \(\dfrac{1}{3}\) . S_ABC

Xét tam giác BEC và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ B xuống AC, ta có:

S_BEC =\(\dfrac{EC}{AC}\). S_ABC = \(\dfrac{2}{3}\). S_ABC

=> S_BEC = 2 .S_ABE

Tương tự, S_DBC = 2 . S_ACD

Mặt khác, S_BIC + S_IEC = S_BEC =\(\dfrac{2}{3}\) . S_ABC

S_BIC + S_BID = S_DBC = \(\dfrac{2}{3}\) . S_ABC

Mà S_BID = S_AIE 

=> S_BIC + S_AIE = \(\dfrac{2}{3}\). S_ABC

Từ đó, S_BIC + S_IEC = S_BIC + S_AIE

=> S_IEC = S_AIE

Vậy, S_IBC= S_BIC + S_IEC = S_BIC + S_AIE = S_BEC = \(\dfrac{2}{3}\). S_ABC

S_IEC = S_AIE= S_ABE - S_BIE = \(\dfrac{1}{3}\) . S_ABC - S_BIE

Do đó, S_IBC > S_IEC

b,Kẻ đường cao AH của tam giác ABC

\(\dfrac{S_{ABE}}{S_{ABC}}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{S_{ACD}}{S_{ABC}}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{3}\)

=> S_ABE = S_ACD

S_ABE = \(\dfrac{1}{2}\) . AH . AE

S_ACD =\(\dfrac{1}{2}\) . AH . AD

=> AE = AD

=> Tam giác ADE cân tại A

=> AI là đường trung tuyến của tam giác ADE

=> I là trung điểm của DE

Xét tam giác BCD có \(\dfrac{DI}{DC}=\dfrac{BI}{IE}\) và I là TĐ DE(cmt)

=> AI là đường trung tuyến của tam giác BCD

=> M là trung điểm của BC

1)

Thay \(m=2\) vào phương trình, ta có:

\(x^2 - 2(2-1)x + 2^2 - 3\cdot 2 = 0\) 

\(\Leftrightarrow x^2 - 2x - 2 = 0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_1 = 1 + \sqrt{3}\)

\( x_2 = 1 - \sqrt{3}\)

2)

Thay \(x=-2\) vào phương trình, ta có:

\((-2)^2 - 2(m-1)(-2) + m^2 - 3m = 0\)

\(\Leftrightarrow 4 + 4(m-1) + m^2 - 3m = 0\)
\(\Leftrightarrow m^2 + m = 0 \)

\(\Leftrightarrow m(m+1) = 0\)

Vậy \(m=0\) hoặc \(m=-1\)

+Với m=0, phương trình trở thành:

\(x^2 - 2x = 0 \)

Phương trình có hai nghiệm \(x_1 = 0 và x_2 = 2 \)(loại)

+Với \(m=-1\), phương trình trở thành:
\(x^2 + 4x + 4 = 0 \)

Phương trình có nghiệm kép\( x = -2\) (nhận)

Vậy \(m=-1\) và nghiệm còn lại là\( x=-2\)

3)

a) Có hai nghiệm phân biệt

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\)

\(\Delta = [2(m-1)]^2 - 4(m^2 - 3m) = 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 12m = 4m + 4\)

\(\Delta > 0 \Leftrightarrow 4m + 4 > 0\)
\(\Leftrightarrow m > -1 \)

b) Có nghiệm kép

Phương trình có nghiệm kép khi \(\Delta = 0\)

\(\Delta = 0 \Leftrightarrow 4m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = -1\)

Nghiệm kép của phương trình là:

\(x = \frac{-b}{2a} = \frac{2(m-1)}{2} = m-1 = -1 - 1 = -2\)

c) Vô nghiệm

Phương trình vô nghiệm khi\( \Delta < 0\)

\(\Delta < 0 \Leftrightarrow 4m + 4 < 0 \Leftrightarrow m < -1\)

B4.\(a) x_1^2 + x_2^2 = 8 \)

\((x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)

\(= [2(m-1)]^2 - 2(m^2 - 3m) = 8\)
\(\Leftrightarrow 4m^2 - 8m + 4 - 2m^2 + 6m = 8 \)
\(\Leftrightarrow 2m^2 - 2m - 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow m^2 - m - 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow (m-2)(m+1) = 0 \)

Vậy m=2 hoặc m=-1.

\(b) 2x_1 - 3x_2 = 8\)

Ta có hệ phương trình:

\( 3x_1 + 3x_2 = 6(m-1) \ 2x_1 - 3x_2 = 8 \)

\(5x_1 = 6m - 6 + 8 = 6m + 2\)

\(\Leftrightarrow x_1 = \frac{6m+2}{5}\)

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được:

\(\frac{6m+2}{5} + x_2 = 2m - 2\)

\(\Leftrightarrow x_2 = 2m - 2 - \frac{6m+2}{5}\)
\(= \frac{10m - 10 - 6m - 2}{5} = \frac{4m - 12}{5} \)

Ta có: \(x_1x_2 = m^2 - 3m\)\(\Leftrightarrow \frac{6m+2}{5} \cdot \frac{4m-12}{5} = m^2 - 3m \)
\(\Leftrightarrow (6m+2)(4m-12) = 25(m^2-3m) \)
\(\Leftrightarrow 24m^2 - 72m + 8m - 24 = 25m^2 - 75m \)
\(\Leftrightarrow m^2 - m - 24 = 0 \Leftrightarrow (m-5)(m+4) = 0\)

Vậy\( m=5\) hoặc\( m=-4\)

\(c) \left|x_1 - x_2\right| = 4\)\(\left|x_1 - x_2\right|^2 = 16 \Leftrightarrow (x_1 - x_2)^2 = 16\)
\(\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 16 \Leftrightarrow [2(m-1)]^2 - 4(m^2 - 3m) = 16 \)\(\Leftrightarrow 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 12m = 16\)
\(\Leftrightarrow 4m = 12 \Leftrightarrow m = 3\)

\(d) |x₁| + |x₂| = 4\)

TH1: x₁, x₂ > 0

\(x₁ + x₂ = 2(m - 1) = 4 ⇔ m = 3\)\(x₁x₂ = m² - 3m = 0 ⇔ m = 0 hoặc m = 3 \)

Vậy \( m = 3\) (nhận)

TH2: x₁, x₂ < 0

\(x₁ + x₂ = 2(m - 1) = -4 ⇔ m = -1\)

\(x₁x₂ = m² - 3m = 4 ⇔ m = 4\) hoặc m = -1

Vậy \(m = -1\) (nhận)

TH3: x₁ > 0, x₂ < 0

x₁ - x₂ = 4

\(x₁ + x₂ = 2(m - 1)\)

\(2x₁ = 2m + 2 ⇔ x₁ = m + 1\)

\(2x₂ = 2m - 6 ⇔ x₂ = m - 3\)\(x₁x₂ = m² - 3m = (m + 1)(m - 3) ⇔ m² - 3m = m² - 2m - 3 ⇔ m = 3 \)Vậy m = 3 (nhận)

TH4: \(x₁ < 0, x₂ > 0\)

-x₁ + x₂ = 4

\(2x₁ = 2m - 6 ⇔ x₁ = m - 3\)

\(x₁ + x₂ = 2(m - 1)\)

\(2x₂ = 2m + 2 ⇔ x₂ = m + 1 \)

\(2x₁ = 2m - 6 ⇔ x₁ = m - 3 \)

\(x₁x₂ = m² - 3m = (m - 3)(m + 1) ⇔ m² - 3m = m² - 2m - 3 ⇔ m = 3 \)Vậy m = 3 (nhận)

=>m = -1 hoặc m = 3

Cậu ơi, Cái trường hợp là để f(x)≤0 với mọi x∈[0;2] nhé

Còn vềphần m<1/3 ấy

Kiểu m<1 cx cần nhưng ko đủ, mình ccần m<1/3 vì nó đảm bảo rằng cả f(0) và f(2) đều nhỏ hơn hoặc bằng 0 nhé

Trong ký ức của tôi, có một người mà tôi luôn nhớ mãi, đó chính là bà ngoại của tôi. Bà đã sống với gia đình tôi từ khi tôi còn nhỏ, và hình ảnh của bà luôn gắn liền với những kỷ niệm đẹp trong tuổi thơ của tôi.

Bà tôi năm nay đã gần 80 tuổi, nhưng trong mắt tôi, bà vẫn luôn tràn đầy sức sống. Bà có dáng người nhỏ nhắn, hơi gầy, nhưng rất nhanh nhẹn. Khuôn mặt của bà phảng phất nét hiền từ, với làn da nhăn nheo vì thời gian. Đôi mắt bà sáng và linh hoạt, màu đen như hạt nhãn, luôn ánh lên sự ấm áp và thông hiểu. Mỗi khi nhìn vào mắt bà, tôi giống như thấy được cả một biển trời tình thương mà bà dành cho tôi. Đôi bàn tay bà gầy guộc nhưng khéo léo, lành nghề trong việc nấu nướng và bày biện món ăn. Mỗi bữa cơm do bà chuẩn bị đều mang lại cho tôi những hương vị tuyệt vời, không chỉ ngon miệng mà còn dậy lên mùi vị của tình yêu thương. Bà tôi rất thích kể chuyện. Những buổi tối mùa hè, cả gia đình quây quần bên nhau, bà thường ngồi giữa và bắt đầu kể những câu chuyện về thời trẻ của bà, về những trận chiến tranh mà bà đã trải qua, và cả những ước mơ của thế hệ bà. Giọng bà ấm áp và truyền cảm, cạnh đó, những tiếng cười của mọi người thật vui vẻ như những khúc nhạc du dương của cuộc sống. Nhưng điều đặc biệt nhất khiến tôi yêu bà chính là sự hiền lành và nhân hậu của bà. Bà luôn quan tâm đến mọi người xung quanh, sẵn sàng giúp đỡ những người có hoàn cảnh khó khăn.

Tôi nhớ có lần, bà đã đứng ra gây quỹ để ủng hộ một gia đình khó khăn trong xóm. Bà không cần người khác phải biết đến mình, mà chỉ muốn làm điều tốt đẹp cho cuộc sống này.

Bà ngoại là một phần quan trọng trong cuộc đời tôi. Không chỉ là người bà, bà còn như một người bạn, một người thầy mà tôi luôn ngưỡng mộ.

Để bất phương trình \(f(x)≤0\) đúng với mọi x∈[0;2], đồ thị của hàm số f(x) phải nằm dưới hoặc chạm trục hoành trên đoạn [0;2].

Ta cần \(f(0)≤0\) và \(f(2)≤0\)

\(f(0)=3m−1≤0⇔m≤\)\(\dfrac{1}{3}\)\(f(2)=4−2(m+2)+3m−1≤0⇔m−1≤0⇔m≤1 \)

Vậy, ta có \(m\le\dfrac{1}{3}\)

Vì m là số nguyên và m∈[−10;10], kết hợp với điều kiện m≤\(\dfrac{1}{3}\)​, ta có các giá trị của m là:

\(m∈{−10;−9;−8;−7;−6;−5;−4;−3;−2;−1;0}\)

1C

2A

3D

4D

5C

6A

7C

8D

9A

10A

11B

12D

13D

14C

15A

16A

17D

18B

19C

20D

21D

22C

23A

Giả sử lực đặt tại điểm cách đầu B 1m là F.

- Trọng lượng của thanh AB (P) tác dụng tại trung điểm của thanh, nên tại điểm giữa hai đầu A và B (tại điểm 2m).

-Lực F tác dụng ở điểm B - 1m (tức là tại điểm 3m từ A).

Về phương thẳng đứng, có các lực như sau:

\(F−P=0\)

\(⟹F=P\)

Chọn điểm A làm điểm quay. Mô-men do trọng lực tác dụng vào thanh địa điểm 2m với chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là \(P . 2\) và mô-men do lực F sẽ quay theo chiều kim đồng hồ bằng \(F.3\).

Phương trình cân bằng mô-men tại A: \(F⋅3 = P⋅2\)

Thay \(P=80N\) vào phương trình trên:

\(F⋅3=80⋅2\)
\(F⋅3=160 \)

\(F=\dfrac{160}{3}\approx53,33N\)