Xét tứ giác ABCD có:

\(QN=5\left(cm\right)\)

\(\dfrac{AD+BC}{2}=\dfrac{3+7}{2}=5\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow QN=\dfrac{AD+BC}{2}\)

`=>` Tứ giác ABCD là hình thang và QN là đường trung bình của hình thang đó (1)

Gọi I là trung điểm AC

Xét tam giác ABC, có:

Q là trung điểm AB

I là trung điểm AC

`=>` QI là đường trung bình của tam giác ABC

\(\Rightarrow QI=\dfrac{BC}{2}\)

Xét tam giác ACD, có:

N là trung điểm CD

I là trung điểm BC

`=>` NI là đường trung bình của tam giác ACD

\(\Rightarrow NI=\dfrac{AD}{2}\)

Xét tam giác IQN, có:

\(QN\le QI+NI\) ( t/c 3 cạnh của tam giác ) (3)

Mà \(QI=\dfrac{BC}{2}\) ; \(NI=\dfrac{AD}{2}\) 

\(\Rightarrow QN\le\dfrac{AD+BC}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi `AB////CD` (2)

\(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow\) Q,I,N thẳng hàng hay QN đi qua trung điểm của đường chéo BC

\(\sqrt{22-12\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{\left(3\sqrt{2}-2\right)^2}\)

\(=\left|3\sqrt{2}-2\right|\)

\(=3\sqrt{2}-2\)

a.\(\sqrt{7+4\sqrt{3}}-\sqrt{28-10\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}+2\right)^2}-\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{3}+2\right|-\left|5-\sqrt{3}\right|\)

\(=\sqrt{3}+2-5+\sqrt{3}\)

\(=2\sqrt{3}-3\)

b.\(\dfrac{5+2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\dfrac{20}{5+\sqrt{5}}-\sqrt{20}\)

`=`\(\dfrac{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}+2\right)}{\sqrt{5}}-\sqrt{20}\left(\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}+1\right)}+1\right)\)

`=`\(\sqrt{5}+2-\sqrt{20}\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}+1\right)\)

`=`\(\sqrt{5}+2-\sqrt{20}\left(\dfrac{2+\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\right)\)

`=`\(\sqrt{5}+2-\sqrt{20}.\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)

`=`\(\sqrt{5}+2-\dfrac{2\sqrt{5}\left(1+\sqrt{5}\right)}{2}\)

\(=\sqrt{5}+2-\sqrt{5}-5\)

\(=-3\)

c.\(2\sqrt{80}+3\sqrt{45}-\sqrt{245}\)

\(=8\sqrt{5}+9\sqrt{5}-7\sqrt{5}\)

\(=10\sqrt{5}\)

d.\(\left(\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1}\right):\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\)

`=`\(\left(\dfrac{\sqrt{7}\left(\sqrt{2}-1\right)}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{\sqrt{5}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}-1}\right):\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\)

`=`\(\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\)

\(=2\)

Kẻ OM vuông góc CD 

`=>` Khoảng cách từ tâm O đến dây CD là OM

Vì \(OM\perp CD\) \(\Rightarrow M\) là trung điểm của CD \(\Rightarrow CM=\dfrac{1}{2}.CD=\dfrac{1}{2}.12=6\left(cm\right)\)

Ta có: \(OC=R=10\left(cm\right)\)

Xét tam giác OCM vuông M, có:

\(OC^2=CM^2+OM^2\)

\(\Rightarrow OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)

Vậy khoảng cách từ O đến dây CD là \(8\left(cm\right)\)

\(A=x^3-15x^2+75x\)

\(A=x\left(x^2-15x+75\right)\)

Thế \(x=25\) vào A, ta được:

\(A=25.\left(25^2-15.25+75\right)\)

\(A=25.325\)

\(A=8125\)

\(\dfrac{8}{1\times3}+\dfrac{8}{3\times5}+\dfrac{8}{5\times7}+...+\dfrac{8}{99\times101}\)

\(=4\left(\dfrac{2}{1\times3}+\dfrac{2}{3\times5}+\dfrac{2}{5\times7}+...+\dfrac{2}{99\times101}\right)\)

\(=4\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{101}\right)\)

\(=4\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{101}\right)\)

\(=4.\dfrac{100}{101}\)

\(=\dfrac{400}{101}\)