a) Xét ∆ABC(<A=90 ° ) và ∆HBA(<H=90 ° ), ta có:
<B chung ⟹∆ABC~ ∆HBA(g.g)
⟹AB/HB=BC/AB⟹AB*AB=HB*BC hay AB²=BH*BC
b)Xét ∆HAC(<H=90 °) và  ∆HBA(<H=90 ° ), ta được:
<B=<HAC( vì cùng phụ với <BAH do <B+<BAH =90°; <HAC+<BAH =90°)
⟹∆HAC~∆HBA(g.g)
⟹HA/HB=HC/HA⟹HA*HA=HB*HC hayHA²=BH*CH

B
B
A

a)Xét ∆BFC(<F=90 °(GT)) và tam giác ∆CEB(<E=90 °(GT)), ta có:
<B=<C ( T/c tam giác cân)
BC cạnh chung
⟹ ∆BFC=∆CEB(C.h-g.n)
⟹BE=FC( 2 cạnh tương ứng)
Ta có: AE=AC-EC
         AF=AB-BF
Mà BF=EC(Do ∆BFC=∆CEB(CMT))
      AB=AC(T/c của tam giác cân)
⟹ AE=AF∆⟹∆AFE cân tại A ⟹<E=<F ⟹<E=<F=<B=<C    ( Do đều bằng 180°-<A/2). ⟹<E=<C mà 2 góc này lại ở vị trí đồng vị ⟹FE//BC
b) Ta có <EBC=<FCB( do ∆BFC=∆CEB(CMT))
⟹  ∆BIC cân tại  I
c)

Ta có: AB=AC
nên A nằm trên đườg trung trực của BC(1)

ta có: IB=IC

nên I nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: MB=MC

nên M nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,I,M thẳng hàng

Hình thì tự vẽ nhé