\(n^3+3n^2-3n-1=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+3n\left(n-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n^2+4n+1\right)\)

Để \(n^3+3n^2-3n-1\) có giá trị là số nguyên tố thì:

\(\left[{}\begin{matrix}n-1=1\\n^2+4n+1=1\end{matrix}\right.\Rightarrow n=2\) (vì n là số nguyên dương).

Với \(n=2\) thì \(n^3+3n^2-3n-1=13\) là số nguyên tố (thỏa mãn).

Vậy \(n=2\)

C₁:

\(P=\dfrac{2x^2-4x+5}{x^2+1}=\dfrac{\left(x^2+1\right)+\left(x^2-4x+4\right)}{x^2+1}=1+\dfrac{\left(x-2\right)^2}{x^2+1}\)

Có \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2\ge0\\x^2+1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{\left(x-2\right)^2}{x^2+1}\ge0\)

\(\Rightarrow P=1+\dfrac{\left(x-2\right)^2}{x^2+1}\ge1\)

\(MinP=1\Leftrightarrow x=2\)

\(P=\dfrac{2x^2-4x+5}{x^2+1}=\dfrac{6\left(x^2+1\right)-\left(4x^2+4x+1\right)}{x^2+1}=6-\dfrac{\left(2x+1\right)^2}{x^2+1}\)

Có \(\left\{{}\begin{matrix}\left(2x+1\right)^2\ge0\\x^2+1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{\left(2x+1\right)^2}{x^2+1}\ge0\)

\(\Rightarrow P=6-\dfrac{\left(2x+1\right)^2}{x^2+1}\le6\)

\(MaxP=6\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)

C₂:

\(P=\dfrac{2x^2-4x+5}{x^2+1}\Rightarrow P\left(x^2+1\right)=2x^2-4x+5\)

\(\Rightarrow\left(P-2\right)x^2+4x+\left(P-5\right)=0\left(1\right)\)

Coi phương trình (1) là phương trình ẩn x tham số P.

Để phương trình có nghiệm thì:

\(\Delta'\ge0\Rightarrow2^2-\left(P-2\right)\left(P-5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow P^2-7P+10-4\le0\)

\(\Leftrightarrow P^2-7P+6\le0\Leftrightarrow\left(P-1\right)\left(P-6\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow1\le P\le6\)

Với \(P=1\). Phương trình (1) có nghiệm kép:

\(x_1=x_2=-\dfrac{2}{P-2}=-\dfrac{2}{1-2}=2\)

Với \(P=6\). Phương trình (1) có nghiệm kép:

\(x_1=x_2=-\dfrac{2}{P-2}=-\dfrac{2}{6-2}=-\dfrac{1}{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}MinP=1\Leftrightarrow x=2\\MaxP=6\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

*Làm cách nào tùy bạn, theo mk thì bạn nên chọn cách 2 vì nó tổng quát hơn á, có thể áp dụng cho các phân thức bậc hai.

Chức mừng các bạn CTV có trong danh sách nha, mong các bạn cố gắng vượt qua tuần thử thách nhé :)

_{*còn mk sẽ onl bớt để.... :v}

a) ABCD là hình vuông nên \(\widehat{ABD}=45^0\)

△BME vuông tại E có: \(\widehat{MBE}=45^0\).

\(\Rightarrow\)△BME vuông cân tại E \(\Rightarrow ME=BE\).

Tứ giác AEMF có: \(\widehat{EAF}=\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=90^0\)

\(\Rightarrow\)AEMF là hình chữ nhật nên \(AF=ME\)

\(\Rightarrow AF=BE\)

b) △ABF vuông tại A và △BCE vuông tại B có:

\(AB=BC;AF=BE\).

\(\Rightarrow\Delta ABF=\Delta BCE\) (ch-cgv).

\(\Rightarrow BF=CE;\widehat{ABF}=\widehat{BCE}\).

Mà \(\widehat{BCE}+\widehat{BEC}=90^0\) nên \(\widehat{ABF}+\widehat{BEC}=90^0\)

\(\Rightarrow BF\perp CE\).

c) Có:\(AF=BE;AD=AB\)

\(\Rightarrow AD-AF=AB-BE\Rightarrow DF=AE\).

△ADE vuông tại A và △DCF vuông tại D có:

\(AD=DC;AE=DF\).

\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta DCF\) (ch-cgv).

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{DCF}\),

Mà \(\widehat{DCF}+\widehat{DFC}=90^0\Rightarrow\widehat{ADE}+\widehat{DFC}=90^0\)

\(\Rightarrow DE\perp CF\)

△CEF có: Hai đường cao FB, ED cắt nhau tại I.

\(\Rightarrow\)I là trực tâm của △CEF.

\(\Rightarrow CI\perp EF\).

d) Gọi tâm của hình chữ nhật AEMF, tâm của hình vuông ABCD lần lượt là I,O.

\(\Rightarrow\)O là trung điểm AC, BD ; I là trung điểm AM, EF ; \(AC\perp BD\) tại O.

△ODF và △OAE có: \(OD=OA;\widehat{ODF}=\widehat{OAE}=45^0;DF=AE\)

\(\Rightarrow\Delta ODF=\Delta OAE\) (c-g-c).

\(\Rightarrow OF=OE\) nên △OEF cân tại O.

Mà OI là trung tuyến nên OI cũng là đường cao.

\(\Rightarrow OI\perp EF\) tại I.

△ACM có: I là trung điểm AM, O là trung điểm AC.

\(\Rightarrow\)OI là đường trung bình của △AMC.

\(\Rightarrow\)OI//CM \(\Rightarrow CM\perp EF\).

Mà \(CI\perp EF\) nên C,M,I thẳng hàng.