Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Tìm kết luận sai trong 4 kết luận sau.

1.  Với mọi n, \(4^n+15n-1\), chia hết cho 9.
2. Với mọi n, \(5^n-4n-1\), chia hết cho 16.
3. Với mọi n, \(n^3+5n\), chia hết cho 4.
4. Với mọi n, \(3,5^{2n+1}+2^{3n+1}\), chia hết cho 17.

Với mọi số nguyên dương n, tổng \(S_n=n^3+11n\) chia hết cho

1. 6.
2. 4.
3. 9.
4. 12.

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n > p (p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

- Bước 1, kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = p

- Bước 2, giả thiết mệnh đề A(n) đúng với số tự nhiên bất kỳ n > p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1

Trong hai bước trên

1. Chỉ có bước 1 đúng.
2. Chỉ có bước 2 đúng.
3. Cả hai bước đều đúng.
4. Cả hai bước đều không đúng.

Một học sinh chứng minh mệnh đề "8n+1 chia hết cho 7 mọi n ∈ N*" như sau:

- Giả sử đúng với n = k, tức là 8n+1 chia hết cho 7

- Ta có: 8k+1+1 = 8(8k+1) - 7 , kết hợp với giả thiết 8k+1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8k+1+1 chia hết cho 7

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

1. Học sinh trên chứng minh đúng.
2. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.
3. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.
4. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng mấy?

1. n = 1.
2. n = p.
3. n > p.
4. n = p + 1.

Với mọi số tự nhiên \(n\ge1\), đẳng thức nào sau đây đúng?

1. \(1^2+2^2+3^2+...+\left(n-1\right)^2+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\).
2. \(1^2+2^2+3^2+...+\left(n-1\right)^2+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\).
3. \(1^2+2^2+3^2+...+\left(n-1\right)^2+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{9}\).
4. \(1^2+2^2+3^2+...+\left(n-1\right)^2+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{8}\).

Với mọi số nguyên \(n\ge1\), đẳng thức nào sau đây đúng?

1. \(1^2+2^2+3^2+...+\left(n-1\right)^2+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{12}\).
2. \(1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\).
3. \(1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)=\dfrac{n^2+3n+2}{3}\).
4. \(1^2+2^2+3^2+...+\left(n-1\right)^2+n^2=\dfrac{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{7}\).

Với mọi \(n\in N\)*, đẳng thức  nào sau đây đúng?

1. \(2+5+8+...+\left(3n-1\right)=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\).
2. \(2+5+8+...+\left(3n-1\right)=\dfrac{n\left(3n-1\right)}{2}\).
3. \(1+3+5+7+...+\left(2n-1\right)=\dfrac{n\left(3n-1\right)}{2}\).
4. \(2^2+5^2+8^2+...+\left(3n-1\right)^2=\dfrac{n\left(3n+1\right)^2}{2}\).

Với mọi \(n\in N\)*, khẳng định nào sau đây không đúng?​

1. \(n^3+3n^2+5n\) chia hết cho 3.
2. \(4^n+15n-1\) chia hết cho 9.
3. \(n^3+11n\) chia hết cho 6.
4. \(n^3-4n^2+11n\) chia hết cho 2.

Với \(n\in N\)*, cho các mệnh đề sau:

P: "\(7^n+5\) chia hết cho 2".

Q: "\(7^n+5\) chia hết cho 3".

R: "\(7^n+5\) chia hết cho 6".

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

1. 0.
2. 1.
3. 2.
4. 3.

Biểu thức nào sau đây cho ta giá trị của tổng \(S=1-2+3-4+...-2n+\left(2n+1\right)\)?

1. 1.
2. 0.
3. 5.
4. n+1.

Với mọi số tự nhiên n, tổng \(S=n^3+3n^2+5n+3\) chia hết cho

1. 3.
2. 4.
3. 5.
4. 7.

Với mọi số tự nhiên \(n\ge3\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

1. \(2^n< n\).
2. \(2^n< 2n\).
3. \(2^n< n+1\).
4. \(2^n>2n+1\).

Dùng phương pháp quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên \(n\ge p\) (p là một số tự nhiên). Ở bước 2 giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây đúng?

1. \(k>p\).
2. \(k\ge p\).
3. \(k=p\).
4. \(k< p\).

Chứng minh mệnh đề "\(\forall n\in N\), \(n\ge3\) ta luôn có \(3^n>n^2+4n+5\)" bằng phương pháp quy nạp toán học. Ở bước 1 ta kiểm tra với giá trị nào của n?

1. \(n=0\).
2. \(n=1\).
3. \(n=2\).
4. \(n=3\).

Tính tổng \(S=1.2+2.3+...+\left(n-2\right)\left(n-1\right)+\left(n-1\right)n\) với mọi \(n\ge2\).

1. \(\dfrac{n\left(n^2-1\right)}{6}\).
2. \(\dfrac{n\left(n^2+1\right)}{3}\).
3. \(\dfrac{2n\left(n^2-1\right)}{3}\).
4. \(\dfrac{n\left(n^2-1\right)}{3}\).

Biểu thức nào sau đây là giá trị của tổng \(S=1^3+2^3+3^3+...+n^3\)?

1. \(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\).
2. \(\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\).
3. \(\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\left(3n+1\right)}{24}\).
4. \(\left[\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\).

Với mọi số nguyên dương n, tổng \(S_n=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\) có giá trị là

1. \(\dfrac{1}{n+1}\).
2. \(\dfrac{n}{n+1}\).
3. \(\dfrac{n}{n+2}\).
4. \(\dfrac{n+1}{n+2}\).

Cho tổng \(S_n=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}+...+\dfrac{1}{\left(4n-3\right)\left(4n+1\right)}\). Tính \(S_3\).

1. \(S_3=\dfrac{1}{5}\).
2. \(S_3=\dfrac{2}{9}\).
3. \(S_3=\dfrac{3}{13}\).
4. \(S_3=\dfrac{4}{17}\).

Với mọi số tự nhiên \(n\ge2\), bất đẳng thức nào sau đây đúng?

1. \(3^n>4n+1\).
2. \(3^n>4n+2\).
3. \(3^n>3n+2\).
4. Một đáp án khác.