Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích S thì hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
\(2\sqrt{S}\) \(4\sqrt{S}\) \(2S\) \(4S\) Hướng dẫn giải: Gọi \(x,y\left(x,y>0\right)\) là hai kích thước của hình chữ nhật với diện tích \(S,\) ta có \(S=xy.\) Chu vi hình chữ nhật là \(2\left(x+y\right),\)
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y\ge2\sqrt{S}\)\(\Rightarrow2\left(x+y\right)\ge4\sqrt{S}.\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\sqrt{S}.\) Vì vậy : Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích \(S\) thì hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng \(4\sqrt{S}.\)
Cách khác: Gọi \(x\) là một kích thước của hình chữ nhật diện tích \(S\) thì kích thước còn lại của hình chữ nhật là \(\dfrac{S}{x},\left(x>0\right)\) và chu vi hình chữ nhật là \(2\left(x+\dfrac{S}{x}\right).\) Xét hàm số \(f\left(x\right)=2\left(x+\dfrac{S}{x}\right),x\in\left(0;+\infty\right)\). Ta có
\(f'\left(x\right)=2\left(1-\dfrac{S}{x^2}\right),f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{S}.\)
Trong khoảng \(\left(0;+\infty\right)\), phương trình \(f'\left(x\right)=0\) có nghiệm duy nhất \(x=\sqrt{S}.\) Lại có
\(f\left(\sqrt{S}\right)=4\sqrt{S},\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=+\infty,\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=+\infty\)
Suy ra \(f\left(x\right)\) có GTLN bằng \(4\sqrt{S}.\)