Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left(S\right)\) có tâm \(I\left(3;2;-1\right)\) và đi qua điểm \(A\left(2;1;2\right)\). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với \(\left(S\right)\) tại \(A\)?
\(x+y-3z-8=0\).\(x-y-3z+3=0\).\(x+y+3z-9=0\).\(x+y-3z+3=0\).Hướng dẫn giải:\(\left(S\right)\) có tâm \(I\left(3;2;-1\right)\) và qua \(A\left(2;1;2\right)\) nên \(\left(S\right)\) có bán kính
\(R=IA=\sqrt{\left(3-2\right)^2+\left(2-1\right)^2+\left(-1-2\right)^2}=\sqrt{11}\).
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \(\left(S\right)\) tại \(A\) khi hai điều kiện sau được thực hiện:
+ Mặt phẳng chứa\(A\): Tọa độ của \(A\) phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng: chỉ có hai mặt phẳng thỏa mãn điều kiện này là \(x+y+3z-9=0\) và \(x+y-3z+3=0\).
+\(IA\) vuông góc với mặt phẳng: độ dài \(IA\) bằng \(\sqrt{11}\) (khoảng cách từ\(I\) tới mặt phẳng).
* Khoảng cách từ \(I\left(3;2;-1\right)\) tới mặt phẳng \(x+y+3z-9=0\) là
\(h=\dfrac{\left|3+2+3\left(-1\right)-9\right|}{\sqrt{1^2+1^2+3^2}}=\dfrac{7}{\sqrt{11}}\ne\sqrt{11}\)
* Khoảng cách từ \(I\left(3;2;-1\right)\) tới mặt phẳng \(x+y-3z+3=0\) là
\(h=\dfrac{\left|3+2-3\left(-1\right)+3\right|}{\sqrt{1^2+1^2+3^2}}=\sqrt{11}\).
Đáp số: \(x+y-3z+3=0\)
