Trong hệ tọa độ \(Oxyz\) cho hai mặt phẳng (P): \(x+y+z-3=0\) và (Q): \(x-y+z-1=0\) .
Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (Q), (P) và khoảng cách từ \(O\) đến (R) bằng 2.
\(x-z+2\sqrt{2}=0,x-z-2\sqrt{2}=0\) \(x-z+2=0,-z-2=0\) \(x+z+2=0,x+z-2=0\) \(x+y+z+2\sqrt{2}=0\), \(x+y+z-2\sqrt{2}=0\) Hướng dẫn giải:\(\overrightarrow{n_P}=\left(1;1;1\right);\overrightarrow{n_Q}=\left(1;-1;1\right)\)
Do (R) vuông góc với (P) và (Q) nên vec tơ pháp tuyến của (R) là
\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(2;0;-2\right)=2\left(1;0;-1\right).\)
Vậy (R ) có phương trình dạng \(x-z+m=0\).
Khoảng cách từ \(O\) đến (R) bằng \(\frac{\left|m\right|}{\sqrt{2}}\). Vì vậy khoảng cách từ \(O\) đến (R) sẽ bằng \(2\)
khi và chỉ khi \(\frac{\left|m\right|}{\sqrt{2}}=2\) \(\Leftrightarrow m=\pm2\sqrt{2}.\)