Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\dfrac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2,\forall a\).\(a^2\left(1+b^4\right)+b^2\left(1+a^4\right)\ge\left(1+a^4\right)\left(1+b^4\right)\) , \(\forall a,b\).\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\), \(\forall a,b,c\).\(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\) \(,\forall a,b,c,d\ge0\).Hướng dẫn giải:Bất đẳng thức \(a^2\left(1+b^4\right)+b^2\left(1+a^4\right)\ge\left(1+a^4\right)\left(1+b^4\right)\) không đúng khi \(a=0,b=1\), vì vậy khẳng định
" \(a^2\left(1+b^4\right)+b^2\left(1+a^4\right)\ge\left(1+a^4\right)\left(1+b^4\right)\) " đúng với mọi \(a,b\) sai.
Chú ý: Học sinh có thể chứng minh các khẳng định còn lại đều đúng (nhưng không cần chứng minh):
+ \(\dfrac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{a^2+1}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}\ge2,\forall a\) (đúng theo Cô si)
+ Có \(x^2+y^2+z^2=\dfrac{x^2+y^2}{2}+\dfrac{x^2+y^2}{2}+\dfrac{x^2+y^2}{2}\ge xy+yz+zx,\left(\forall x,y,z\right)\), do đó
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge ab.bc+bc.ca+ca.ab\) \(=abc\left(a+b+c\right)\), \(\forall a,b,c\).
+ Có \(\left(a+c\right)\left(b+d\right)=ab+cd+bc+ad=\)\(\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2+\left(\sqrt{bc}-\sqrt{ad}\right)^2\) \(\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\)
từ đó \(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\), \(,\forall a,b,c,d\ge0\)