Tính khoảng cách từ điểm \(A=\left(1;0;0\right)\) đến đường thẳng d có phương trình \(x=y=1-z\).
1.\(\sqrt{2}\).\(\dfrac{2}{3}\).\(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).Hướng dẫn giải:Lấy hai điểm trên đường thẳng d là: B(0;0;1) và C(1;1;0), suy ra vecto chỉ phương của d là:
\(\overrightarrow{BC}=\left(1-0;1-0;0-1\right)=\left(1;1;-1\right)\)
Gọi \(H\left(x;y;z\right)\) là chân đường cao hạ từ \(A\) xuống d, ta có:
\(\begin{cases}H\in d\\\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}y=x=1-z\\\left(x-1;y-0;z-0\right).\left(1;1;-1\right)=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}y=x=1-z\\x-1+y-z=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y;z\right)=\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)\)
Khoảng cách từ \(A\) đến d là:
\(AH=\sqrt{\left(\frac{2}{3}-1\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
