Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+\left(m^2-1\right)x\) có hai điểm cực trị là A và B nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(y=5x-9\). Tổng tất cả các phần tử của S là
0.6.-6.3.Hướng dẫn giải:\(y'=x^2-2mx+m^2-1\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1=m-1,x_2=m+1\). Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)\) trong đó \(y_1=y\left(x_1\right),y_2=y\left(x_2\right)\) . Yêu cầu A và B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d có nghĩa là trung điểm I của đoạn AB phải nằm trên d:
I có tọa độ \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{x_1+x_2}{2}=m\\y=\dfrac{y_1+y_2}{2}\end{matrix}\right.\) . Tính \(y_1+y_2\):
Ta có \(y_1+y_2=\dfrac{1}{3}\left(x_1^3+x_2^3\right)-m\left(x_1^2+x_2^2\right)+\left(m^2-1\right)\left(x_1+x_2\right)\)
với \(x_1+x_2=2m,x_1^2+x_2^2=2\left(m^2+1\right),x_1^3+x_2^3=2\left(m^3+3m\right)\)
nên \(y_1+y_2=\dfrac{2}{3}\left(m^3+3m\right)-m.2\left(m^2+1\right)+\left(m^2-1\right).2m=\dfrac{2}{3}\left(m^3-3m\right)\)
Vậy I có tọa độ \(x=m,y=\dfrac{1}{3}\left(m^3-3m\right)\). Yêu cầu bài toán được thực hiện khi
\(\dfrac{1}{3}\left(m^3-3m\right)=5m-9\Leftrightarrow m^3-18m+27=0\)
Phương trình này có ba nghiệm \(m=3,m=\dfrac{-3\pm3\sqrt{5}}{2}\) nên \(S=\left\{3;\dfrac{-3\pm3\sqrt{5}}{2}\right\}\)
Tổng các phần tử của S là 0.