Cho \(x,y\) là hai số thực thay đổi luôn thỏa mãn \(2x+3y=7\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=2x^2+3y^2\).
\(\dfrac{43}{5}\).\(\dfrac{46}{5}\).\(\dfrac{49}{5}\).\(\dfrac{51}{5}\).Hướng dẫn giải:Theo bất đẳng thức Svac ta có \(\left(2x+3y\right)^2=\left(\sqrt{2}.\sqrt{2}x+\sqrt{3}.\sqrt{3}y\right)^2\le\left(2+3\right)\left(2x^2+3y^2\right)\) hay \(7^2\le5A\Leftrightarrow A\ge\dfrac{49}{5}\) .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=7\\\dfrac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}y}{\sqrt{3}}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=\dfrac{7}{5}\) .
Đáp số: \(\dfrac{49}{5}\)