Cho tứ diện \(ABCD\) với các đỉnh
\(A\left(1;1;1\right),B\left(-2;0;2\right),C\left(0;1;-3\right),D\left(4;-1;0\right)\)
Độ dài đường cao của tứ diện hạ từ \(D\) là
\(\frac{39}{\sqrt{186}}\) \(\frac{39}{186}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) Hướng dẫn giải:Chiều dài đường cao \(DH\) của tứ diện \(ABCD\) là khoảng cách từ \(D\) đến mặt phẳng \(\left(ABC\right)\).
Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left(-3;-1;1\right)\), \(\overrightarrow{AC}=\left(-1;0;-4\right)\)
\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left(ABC\right)\)
\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{matrix}-1&1\\0&-4\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-3\\-4&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-3&-1\\-1&0\end{matrix}\right|\right)\)
\(=\left(4;-13;-1\right)\)
Mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) đi qua \(A\left(1;1;1\right)\) và nhận \(\overrightarrow{n}\) là vec tơ pháp tuyến, phương trình \(\left(ABC\right)\) là:
\(4\left(x-1\right)-13\left(y-1\right)-1\cdot\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4x-13y-z+10=0\)
Vậy \(d\left(D,\left(ABC\right)\right)=\frac{\left|4.4-13\left(-1\right)-0+10\right|}{\sqrt{16+169+1}}=\frac{39}{\sqrt{186}}\).
