Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a. Gọi I là giao điểm 3 đường cao của tam giác. Tính độ dài đoạn thẳng AI.
\(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\).\(\dfrac{a}{2}\).\(\dfrac{2a}{3}\)\(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\).Hướng dẫn giải:Do tam giác ABC đều nên đường cao AH đồng thời là trung tuyến, trực tâm I đồng thời là trọng tâm của tam giác
nên \(AI=\dfrac{2}{3}AH\)
Lại có: \(AB=a;BH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}\). Xét tam giác ABH vuông tại H có: \(AB^2=AH^2+BH^2\)
\(\Rightarrow AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow AI=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)