Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có các cạnh đều bằng \(a\) và \(\widehat{BAD}=\widehat{BAA'}=\widehat{DAA'}=60^o\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD,A'C'.\)
\(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\).\(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).\(\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\).\(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết suy ra các tam giác \(BAD,BA'A,A'AD,BDA'\) là những tam giác đều cạnh \(a\).
Vì hai mặt đáy của hình hộp song song với nhau nên khoảng cách giữa hai đường thẳng (chéo nhau) \(BD,A'C'\) bằng khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp và cũng bằng khoảng cách từ điểm \(A\) tới mp\(\left(A'B'C'D'\right).\)
Chú ý rằng tam giác \(A'BD\) là tam giác đều nên \(A'O\perp BD,\) lại có \(AC\perp BD\Rightarrow BD\perp\left(A'ACC'\right)\) (1)
Trong mặt phẳng \(\left(A'ACC'\right)\), kẻ \(AH\perp A'C\). Do (1) suy ra \(BD\perp AH\) \(\Rightarrow B'D'\perp AH\) nên \(AH\perp\left(A'B'C'D'\right)\).
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(AOA'\) (có \(AO=A'O=\dfrac{a\sqrt{3}}{2};\)\(A'A=a\)) ta có
\(\cos\widehat{OAA'}=\dfrac{a^2+\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\Rightarrow\)\(\sin\widehat{OAA'}=\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{6}a}{3}\)\(\Rightarrow\sin\widehat{HA'A}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
Do đó \(AH=a.\sin\widehat{HA'A}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
.