Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(a\) và \(SA\perp\left(ABCD\right)\), \(SA=x\). Xác định \(x\) để hai mặt phẳng \(\left(SBC\right)\) và \(\left(SDC\right)\) tạo với nhau góc \(60^o\).
\(\dfrac{a\sqrt{6-3\sqrt{3}}}{3}\).\(\dfrac{a\sqrt{3}\left(3+\sqrt{3}\right)}{2}\).\(\dfrac{a\sqrt{6}}{12}\).\(\dfrac{a\sqrt{3}\left(3-\sqrt{3}\right)}{2}\).Hướng dẫn giải:
Do \(AC\perp BD\) và \(SA\perp BD\) nên \(BD\perp mp\left(SAC\right)\).
Suy ra \(BD\perp SC\).
Trong \(mp\left(SDC\right)\) kẻ \(DQ\perp SC\). Suy ra \(SC\perp mp\left(BDQ\right)\).
Vì vậy \(mp\left(BDQ\right)\perp mp\left(SDC\right)\) và \(mp\left(SBC\right)\perp mp\left(DQB\right)\).
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left(SDC\right)\) và \(\left(SBC\right)\) bằng \(\left(QD,QB\right)\).
\(SD=SB=\sqrt{AD^2+SA^2}=\sqrt{a^2+x^2}\).
Do \(DC\perp mp\left(SDA\right)\) nên \(DC\perp SD\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(\dfrac{1}{DQ^2}=\dfrac{1}{SD^2}+\dfrac{1}{DC^2}=\dfrac{1}{x^2+a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{x^2+2a^2}{a^2\left(x^2+a^2\right)}\).
Suy ra \(DQ=\sqrt{\dfrac{a^2\left(x^2+a^2\right)}{x^2+2a^2}}\).
Vì vậy \(DQ=QB=\sqrt{\dfrac{a^2\left(a^2+x^2\right)}{x^2+2a^2}}\).
\(cos\widehat{DQB}=\dfrac{DQ^2+QB^2-BD^2}{2DQ.QB}=\)\(\dfrac{2\dfrac{a^2\left(a^2+x^2\right)}{x^2+2a^2}-2a^2}{2\dfrac{a^2\left(a^2+x^2\right)}{x^2+2a^2}}=\dfrac{-a^2}{x^2+a^2}\).
Suy ra:
\(\left|\dfrac{-a^2}{x^2+a^2}\right|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{x^2+a^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\Leftrightarrow\sqrt{3}x^2=a^2\left(2-\sqrt{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2=\dfrac{a^2\left(2-\sqrt{3}\right)\sqrt{3}}{3}\)\(\Leftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{a^2\left(2-\sqrt{3}\right)\sqrt{3}}{3}}=a\sqrt{\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}}=\dfrac{a\sqrt{6-3\sqrt{3}}}{3}\)
