Cho hình chóp \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) . Gọi \(SH\) là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm \(I\) của \(SH\) đến \(\left(SBC\right)\) bằng \(b\). Tính độ dài \(SH\).
\(\dfrac{2ab}{\sqrt{a^2-16b^2}}\).\(\dfrac{2ab}{\sqrt{a^2+16b^2}}\).\(\dfrac{2ab}{\sqrt{a^2+4b^2}}\).Kết quả khác.Hướng dẫn giải:
Gọi O là trung điểm của BC. Tứ giác ABCD là hình vuông nên \(HO\perp BC\).
mà \(SH\perp BC\) nên \(BC\perp mp\left(SHO\right)\).
Từ H kẻ \(HK\perp SO\left(K\in SO\right)\).
Gọi I là trung điểm của SH. Kẻ \(IF\perp SO\) \(\left(F\in SO\right)\).
Theo giả thiết có \(IF=b\) suy ra \(HK=2b\).
\(HO=AB:2=\dfrac{a}{2}\).
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{HO^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(2b\right)^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{SH^2}=\dfrac{1}{4b^2}-\dfrac{4}{a^2}\)\(=\dfrac{a^2-16b^2}{4a^2b^2}\).
Suy ra \(SH=\dfrac{2ab}{\sqrt{a^2-16b^2}}\).
