Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có \(AB=a,SA=2a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng:
\(\dfrac{\sqrt{10}a}{20}\).\(\dfrac{\sqrt{3}a}{4}\).\(\dfrac{2\sqrt{3}}{5}a\).\(\dfrac{\sqrt{210}}{15}a\).Hướng dẫn giải:
\(d\left(BC,SA\right)=d\left(BC,\left(SAD\right)\right)\).
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Hình chóp \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO\perp\left(ABCD\right)\), vì vậy \(SO\perp BC\). (1)
Gọi \(M,I\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\). Suy ra \(MI\perp AD,MI\perp BC\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC\perp\left(SMI\right)\). Vì vậy \(AD\perp\left(SMI\right)\).
Trong mp\(\left(SMI\right)\) kẻ \(IK\perp SM\).
\(SI=\sqrt{SC^2-CI^2}=\sqrt{\left(2a\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{15}a}{2}\).
\(SO=\sqrt{SI^2-OI^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{15}a}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{14}a}{2}\).
Từ công thức tính diện tích của tam giác ta suy ra: \(IK.SM=SO.MI\Rightarrow IK=\frac{SO.MI}{SM}=\)\(\dfrac{\dfrac{\sqrt{14}a}{2}.a}{\dfrac{\sqrt{15}a}{2}}\)\(=\dfrac{\sqrt{210}}{15}a\).