Cho hình chóp đều \(S.ABC\). Biết khoảng cách từ \(S\) đến mp\(\left(ABC\right)\) bằng \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\) và cạnh đáy hình chóp bằng \(a\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).
\(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).\(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\).\(a\sqrt{2}\).\(\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\).Hướng dẫn giải:
\(AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AO=\dfrac{2}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\); \(SA=\sqrt{AO^2+SO^2}=\sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2}=a\).
Suy ra hình chóp \(S.ABC\) là tứ diện đều cạnh \(a\) .
Gọi \(I\) là trung điểm của \(SA\) suy ra \(IH\) là đường vuông góc chung của \(SA,BC.\)
Suy ra \(IH.SA=AH.SO\Rightarrow IH=\dfrac{AH.SO}{SA}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}}{a}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).