Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{x+1},x\ge0\\\dfrac{1}{x-1},x< 0\end{matrix}\right.\). Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề dưới đây?
(I) \(f\left(-2\right)+f\left(0\right)+f\left(2\right)=1\)
(II) \(f\left(-1\right)+f\left(1\right)=f\left(0\right)\)
(III) \(f\left(f\left(1\right)\right)=3\)
(IV) \(f\left(-2\right)+f\left(0\right)-f\left(2\right)=-1\)
Hướng dẫn giải:\(f\left(-2\right)=\dfrac{1}{-2-1}=-\dfrac{1}{3};f\left(0\right)=\dfrac{0}{0+1}=0;f\left(2\right)=\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}\)do đó
\(f\left(-2\right)+f\left(0\right)+f\left(2\right)=\dfrac{1}{3}\) và \(f\left(-2\right)+f\left(0\right)-f\left(2\right)=-1\).
Lại có \(f\left(1\right)=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow f\left(f\left(1\right)\right)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{1}{3}\).
Sau cùng \(f\left(-1\right)=\dfrac{1}{-1-1}=-\dfrac{1}{2}\) nên \(f\left(-1\right)+f\left(1\right)=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=0=f\left(0\right)\)
(I) và (II).(II) và (III).(II) và (IV).(III) và (IV).