Bài 13. Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

1. Bội chung

Một số được gọi là bội chung của hai hay nhiều số nếu nó là bội của tất cả các số đó.

Ví dụ 1. Ta có: B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48 ...}; B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48 ...}.

Hai tập hợp này có một số phần tử chung như 0; 24; 48; ...Ta nói chúng là các bội chung của 6 và 8.

• Kí hiệu tập hợp các bội chung của a và b là BC(a, b).
• Tương tự, tập hợp các bội chung của a, b, c kí hiệu là BC(a, b, c).

Cách tìm bội chung của hai số a và b:

• Viết các tập hợp B(a) và B(b).
• Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b).

Ví dụ 2. Tìm BC(12, 18).

Giải:

B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; ...}.

B(18) = {0; 18; 36; 54; 72; ...}.

Do đó BC(12, 18) = {0; 36; ...}.

Ví dụ 3. Liệt kê các phần tử của tập hợp M = {x ∈ BC(5, 10)| x < 40}.

Giải:

B(5) = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; ...}.

B(10) = {0; 10; 20; 30; 40; 50; ...}.

Do đó BC(5, 10) = {0; 10; 20; 30; 40; ...}.

Vì các phần tử của tập hợp M nhỏ hơn 40 nên M = {0; 10; 20; 30}.

2. Bội chung nhỏ nhất

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN(a, b).

Tương tự, bội chung nhỏ nhất của a, b và c kí hiệu là BCNN(a, b, c).

Lưu ý:

• Tất cả các bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b).
• Mọi số tự nhiên đều là bội của 1.
• Với mọi số tự nhiên a và b (khác 0) ta có: BCNN(a, 1) = a; BCNN(a, b, 1) = (a, b).

Ví dụ 4. Biết số học sinh của một trường trong khoảng từ 400 đến 500 học sinh. Khi tập thể dục giữa giờ thì xếp thành các hàng có số học sinh bằng nhau. Biết rằng khi xếp thành 12 hàng, 15 hàng và 21 hàng thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường đó.

Giải:

Số học sinh của trường là bội chung của 12, 15 và 21.

Ta có 12 = 2².3 ; 15 = 3.5; 21 = 3.7.

Do đó, BCNN (12, 15, 21) = 2².3.5.7 = 420.

BC( 12, 15, 21) chính là bội của BCNN(12,15,21)

⇒ BC(12,15,21) = B(420) = {0; 420; 840,.....}

Số học sinh trong khoảng từ 400 đến 500 nên trường có 420 học sinh.

Vậy số học sinh của trường là 420 học sinh.

3. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Quy tắc:

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó.

Tích đó là BCNN phải tìm.

Ví dụ 5. Tìm BCNN của 12, 18 và 30.

Giải:

• Phân tích mỗi số 12, 18 và 30 ra thừa số nguyên tố: 12 = 2².3; 18 = 2.3²; 30 = 2.3.5.
• Các thừa số nguyên tố chung và riêng là 2, 3 và 5.
• Lập tích các thừa số chung và riêng đã chọn ở trên, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó: 2².3².5.

Vậy BCNN(12, 18, 30) = 2².3².5 = 180.

Chú ý: 

• Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó. 

        Chẳng hạn, BCNN(3, 4, 5) = 3.4.5 = 60.

• Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất ấy.

        Chẳng hạn, BCNN(4, 8, 24) = 24.

4. Ứng dụng trong quy đồng mẫu các phân số

Quy tắc:

Muốn quy đồng mẫu số nhiều phân số ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu số (thường là BCNN) để làm mẫu số chung.

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu số (bằng cách chia mẫu số chung cho từng mẫu số riêng).

Bước 3: Nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ 6. Quy đồng mẫu số hai phân số \(\dfrac{7}{8}\) và \(\dfrac{5}{12}\).

Giải:

Ta có thể làm theo hai cách:

Cách 1: 

Ta có 96 là một bội chung của 8 và 12; 96 : 8 = 12; 96 : 12 = 8.

Do đó: \(\dfrac{7}{8}=\dfrac{7\cdot12}{8\cdot12}=\dfrac{84}{96}\) và \(\dfrac{5}{12}=\dfrac{5\cdot8}{12\cdot8}=\dfrac{40}{96}\).

Cách 2:

Ta có BCNN(8, 12) = 24; 24 : 8 = 3; 24 : 12 = 2.

Do đó \(\dfrac{7}{8}=\dfrac{7\cdot3}{8\cdot3}=\dfrac{21}{24}\) và \(\dfrac{5}{12}=\dfrac{5\cdot2}{12\cdot2}=\dfrac{10}{24}\).

Ví dụ 7. Thực hiện phép tính \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{6}\).

Giải:

\(\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{1\cdot3}{4\cdot3}+\dfrac{5\cdot2}{6\cdot2}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{10}{12}=\dfrac{13}{12}\).