Luyện tập chung trang 108

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b khi và chỉ khi R > 3 cm.

b) Đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng a nên R = 2 < 3.

Do đó (O; R) không cắt đường thẳng b.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Hai đường tròn (T₁) và (T₂) là hai đường tròn đồng tâm, (T₁) chứa (T₂).

b) Gọi tâm của (T₁) là O, tâm của (T₃) là O’

Xét \(\left( {{T_1}} \right)\) và \(\left( {{T_3}} \right)\), ta có:

\({{\rm{R}}_3} = \frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}\); \({{\rm{R}}_1} + {{\rm{R}}_3} > {{\rm{R}}_1}{\rm{ > }}\frac{1}{2}{{\rm{R}}_1} = {\rm{OO'}}\) hay \({{\rm{R}}_1} + {R_3} > {\rm{OO'}}\)

\(\begin{array}{l}{R_1} - {R_3} = {R_1} - \frac{1}{2}{R_2}\\ = \frac{1}{2}{R_1} + \frac{1}{2}{R_1} - \frac{1}{2}{R_2}\\ = \frac{1}{2}{R_1} + \left( {\frac{1}{2}{R_1} - \frac{1}{2}{R_2}} \right)\\ = \frac{1}{2}{R_1} + \frac{1}{2}\left( {{R_1} - {R_2}} \right)\end{array}\)

Vì \({R_1} - {R_2} > 0\) nên \(\frac{1}{2}{R_1} + \frac{1}{2}\left( {{R_1} - {R_2}} \right) > \frac{1}{2}{R_1} = OO'\) hay \({{\rm{R}}_1} - {{\rm{R}}_3}{\rm{ > OO'}}\)hay \({\rm{OO'}} < {{\rm{R}}_1} - {{\rm{R}}_3}\)

Vậy (T₁) đựng (T₃).

Xét \(\left( {{T_2}} \right)\) và \(\left( {{T_3}} \right)\), ta có:

\({{\rm{R}}_3} = \frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}\); \({{\rm{R}}_2}{\rm{ - }}{{\rm{R}}_3} = {R_2} - \frac{1}{2}{R_2} = \frac{1}{2}{R_2} < \frac{1}{2}{R_1} = OO'\) hay \({R_2} - {R_3} < OO'\)

\({R_2} + {R_3} = {R_2} + \frac{1}{2}{R_2} = \frac{3}{2}{R_2}\).

TH1: \(\frac{3}{2}{R_2} > \frac{1}{2}{R_1}\) hay \(3{R_2} > {R_1}\) thì \({R_2} + {R_3} > OO'\)

Suy ra \({R_2} - {R_3} < OO' < {R_2} + {R_3}\)

Vậy (T₂) và (T₃) cắt nhau.

TH2: \(\frac{3}{2}{R_2} = \frac{1}{2}{R_1}\) hay \(3{R_2} = {R_1}\) thì \({R_2} + {R_3} = OO'\)

Vậy (T₂) tiếp xúc ngoài với (T₃).

TH2: \(\frac{3}{2}{R_2} < \frac{1}{2}{R_1}\) hay \(3{R_2} < {R_1}\) thì \({R_2} + {R_3} < OO'\)

Vậy (T₂) và (T₃) ở ngoài nhau.

+ Với R₁ = 3 cm, R₂ = 2 cm, so sánh \(3{R_2}\) với \({R_1}\), ta được \(3{R_2} = 3.2 = 6 > 3 = {R_1}\), khi đó (T₂) và (T₃) cắt nhau.

\(\begin{array}{l}\left( {{T_3}} \right):{R_3} = \frac{1}{2}.2 = 1cm\\OO' = \frac{1}{2}{R_1} = \frac{1}{2}.3 = \frac{3}{2}cm\end{array}\)

Ta có hình vẽ sau:

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) MA và MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MP

NB và NP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên NB = NP

Ta có: MN = MP + NP = MA + NB

b) Gọi K là giao điểm của AN và OQ.

Ta có: \({\rm{BN//OK}}\) (vì cùng vuông góc với AB) và O là trung điểm của AB.

Suy ra OK là đường trung bình của tam giác ABN.

Do đó K là trung điểm của AN.

Lại có: \({\rm{AM//QK}}\) (vì cùng vuông góc với AB) và K là trung điểm của AN.

Suy ra QK là đường trung bình của tam giác AMN.

Do đó Q là trung điểm của MN.

c) OK là đường trung bình của tam giác ABN nên \({\rm{OK}} = \frac{1}{2}{\rm{NB}}\)

QK là đường trung bình của tam giác AMN nên \({\rm{QK}} = \frac{1}{2}{\rm{MA}}\)

Suy ra: \({\rm{OQ}} = {\rm{OK}} + {\rm{QK}} = \frac{1}{2}{\rm{NB}} + \frac{1}{2}{\rm{MA}} = \frac{1}{2}{\rm{MN}}\)

hay \({\rm{OQ}} = {\rm{AQ}} = {\rm{BQ}}\)

Do đó O thuộc đường tròn đường kính MN.

Mà OQ vuông góc với AB tại O nên AB là tiếp của đường tròn đường kính MN.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Vì hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại A nên \(A \in (O')\)

Vì AM là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) nên \(AM \bot OA\) suy ra \(AM \bot O'A\)

Suy ra MA là tiếp tuyến của (O') hay MA tiếp xúc với (O').

b) MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MB

MA và MC là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MC

Suy ra MB = MC = MA hay M là trung điểm của BC

Do đó tam giác ABC vuông tại A.

(Trả lời bởi datcoder)