Bài tập cuối chương I

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\;\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

=> Chọn B

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Đặt mẫu: \({x^2} + 2x + 1 = 0\) → \(x =  - 1\)

Vậy hàm số có TCĐ là \(x =  - 1\)

Ta có:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{4x + 4}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 0\)

Vậy, hàm số có TCN là: \(y = 0\)

Đáp án C

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Xét đồ thị ta thấy hàm số cắt x tại 1 và y tại -2

Thế x=1 vào phương trình

=> Phương trình a có nghiệm x=1 và y=2

=> Chọn A

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Hình 33 có

1 TCĐ \(x =  - 1\)

1 TCN \(y =  - 1\)

Vậy hàm số cần tìm là: \(y = \frac{{ - x}}{{x + 1}}\)

Đáp án D

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Xét đồ thị a ta thấy đồ thị đi qua điểm (0;0)

Thay x=0 vào hàm số

=> Thấy C thỏa mãn

=> Chọn C

Xét đồ thị b ta thấy đồ thị đi qua điểm (0;3)

Thay x=0 vào hàm số

=> Thấy A thỏa mãn 

=> Chọn A

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)

Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}\)

Đặt mẫu: \(3x - 2 = 0\) → \(x = \frac{2}{3}\)

Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = \frac{2}{3}\)

Ta có:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \frac{5}{3}\)

Vậy, hàm số có TCN là: \(y = \frac{5}{3}\)

B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)

TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Đặt mẫu \({x^3} + 1 = 0\) → \(x =  - 1\)

Vậy hàm số có TCĐ là: \(x =  - 1\)

Ta có:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = 2\)

Vậy hàm số có TCN là: \(y = 2\)

C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)

TXĐ: \(x \in \left[ { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right]\)

Đặt mẫu \(\sqrt {{x^2} - 4}  = 0\) → \(x =  - 2;\;x = 2\)

Vậy hàm số có TCĐ là: \(x =  - 2;\;x = 2\)

Ta có

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 1\)

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} =  - 1\)

Vậy hàm số có TCN là: \(y = 1;\;y =  - 1\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(y = x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}\)

TCĐ: \({x^2} = 0 \to x = 0\)

Vậy đường tiệm cận đứng của hàm số là \(x = 0\)

TCX:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{x} = 1\)

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - ax} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}} - x =  - 3\)

Vậy đường tiệm cận xiên của hàm số là \(y = x - 3\)

b) \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\)

TCĐ: \(x - 1 = 0 \to x = 1\)

Vậy đường tiệm cận đứng của hàm số là \(x = 1\)

TCX:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}}}{x} = 2\)

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - ax} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} - 2x =  - 1\)

Vậy đường tiệm cận xiên của hàm số là \(y = 2x - 1\)

c) \(y = \frac{{2{x^2} - x + 3}}{{2x + 1}}\)

TCĐ: \(2x + 1 = 0 \to x =  - \frac{1}{2}\)

Vậy đường tiệm cận đứng của hàm số là \(x =  - \frac{1}{2}\)

TCX:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} - x + 3}}{{2x + 1}}}}{x} = 1\)

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - ax} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - x + 3}}{{2x + 1}} - x =  - 1\)

Vậy đường tiệm cận xiên của hàm số là \(y = x - 1\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 6x\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\)

Tìm điểm cực trị: \(f'\left( x \right) = 0 \to 6{x^2} - 6 = 0 \to x = - 1, x = 1\)

So sánh giá trị hàm số tại các điểm cực trị và hai đầu mút của đoạn:

\(f\left( { - 1} \right) = 2{( - 1)^3} - 6\left( { - 1} \right) =  - 2 + 6 = 4\)

\(f\left( 1 \right) = 2{(1)^3} - 6\left( 1 \right) = 2 - 6 =  - 4\)

\(f\left( 3 \right) = 2{(3)^3} - 6\left( 3 \right) = 54 - 18 = 36\)

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) là \( - 4\) (tại \(x = 1\)), và GTLN là 36 (tại \(x = 3\))

b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 6}}{{x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\)

\(f'(x) = \frac{{{x^2} + 4x}}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Khi đó trên đoạn [1;5] không tồn tại x để f’(x) = 0.

So sánh giá trị hàm số tại hai đầu mút của đoạn:

\(f\left( 1 \right) = \frac{{{1^2} + 3.1 + 6}}{{1 + 2}} = \frac{{10}}{3};f\left( 5 \right) = \frac{{{5^2} + 3.5 + 6}}{{5 + 2}} = \frac{{46}}{7}\)

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\) là \(\frac{{10}}{3}\) (tại \(x = 1\)), và GTLN là \(\frac{{46}}{7}\) (tại \(x = 5\))

c) \(f\left( x \right) = \frac{{In\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)

So sánh giá trị hàm số:

\(f\left( 0 \right) = \frac{{\ln \left( {0 + 1} \right)}}{{0 + 1}} = 0; f(e - 1) = \frac{1}{{e + 1}}; f\left( 3 \right) = \frac{{\ln \left( {3 + 1} \right)}}{{3 + 1}} = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{2}\)

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) là 0 (tại \(x = 0\)), và GTLN là \(\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{2}\) (tại \(x = 3\))

d) \(f\left( x \right) = 2sin3x + 7x + 1\) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)

\(f'(x) = 6\cos 3x + 7\). Khi đó trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có f’(x) > 0, hàm số đồng biến

So sánh giá trị hàm số tại hai đầu mút của đoạn:

\(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin \left( {3\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)} \right) + 7\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + 1 = 3 - \frac{{7\pi }}{2}\)

\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin \left( {3\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right) + 7\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + 1 =  - 1 + \frac{{7\pi }}{2}\)

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(3 - \frac{{7\pi }}{2}\) (tại \(x = \frac{{ - \pi }}{2}\)), và GTLN là \( - 1 + \frac{{7\pi }}{2}\) (tại \(x = \frac{\pi }{2}\))

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

\(a,\;y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)

TXD : R

\(y' = 3{x^2} - 6x\)

Cho y= 0 => \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trong khoảng (0;2)

\(\;b,\;y =  - {x^3} + 3{x^2} - 6x\)

TXD: R

\(y' = \; - 3{x^2} + 6x - 6\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số

Hàm số nghịch biến trên R

\(c,y = \frac{{3x - 2}}{{x - 2}}\)

TXD: R/2

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x - 2}} = 3 =  > TCN\;y = 3\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x - 2}}{{x - 2}} =  - \infty \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Hàm số nghịch biến trên khoảng R

\(d,y = \frac{x}{{2x + 3}}\)

TXD: R \ {\( - \frac{3}{2}\)}

TCN \(y = \frac{1}{2}\)

TCD \(x =  - \frac{3}{2}\)

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số:

\(e,y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{x}\)

\(TXD:\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)

TCD: x = 0.

Không có tiệm cận ngang.

Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}} = x + 2 + \frac{4}{x}\), suy ra:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{4}{x} = 0.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{4}{x} = 0.\end{array}\)

Do đó, đồ thị hàm số có \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên.

\(y' = \frac{{\left( {2x + 2} \right)x - \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}\).

Cho y’=0 => x=\( \pm 2\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

g, \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}\)

TXD: \(\mathbb{R}\backslash \{  - 2\} \).       \[\]

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \). Đồ thị àm số không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y =  + \infty \). Đồ thị hàm số có \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng.

Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}} = x + 2 - \frac{1}{{x + 2}}\), suy ra:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 2}} = 0.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 2}} = 0.\end{array}\)

Do đó, đồ thị hàm số có \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Giả sử chiều dài của trang sách là x và chiều rộng là y. Theo đề bài, diện tích của trang sách là:

$xy~=~384~cm{}^\text{2}$                

Khi để lề trên và lề dưới đều là 3 cm, lề trái và lề phải đều là 2 cm thì diện tích phần in chữ sẽ là:

\(\left( {x - 2.3} \right)\left( {y - 2.2} \right)\; = \;\left( {x - 6} \right)\left( {y - 4} \right)\)

Ta có: \(x = \frac{{384}}{y}\) (1)

Thay x vào phương trình \(\left( {x - 6} \right)\left( {y - 4} \right)\) ta thu được \(\left( {x - 6} \right)\left( {\frac{{384}}{x} - 4} \right)\)

\(f\left( x \right) = \;\left( {x - 6} \right)\left( {\frac{{384}}{x} - 4} \right)\)

$\to f\left( x \right)=-4+\left( \frac{2304}{{{x}^{2}}} \right)$

$f\left( x \right)=0\to -4+\left( \frac{2304}{{{x}^{2}}} \right)=0\to x=24$

Thế vào (1): \(x = 24 \to y = 16\)

Vậy kích thước của trang sách có chiều dài 24 cm, chiều rộng 16 cm thì phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất

(Trả lời bởi datcoder)