Bài tập cuối chương 1

Hướng dẫn giải

Vẽ đồ thị:

\(3\cos x + 2 = 0\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) có 4 nghiệm

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a)      

\(\begin{array}{l}\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{6} =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{6} = \pi  + \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

b)     \(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{{ - \pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k4\pi }}{3}\\x = \frac{{ - 7\pi }}{{18}} + \frac{{k4\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

c)       

\(\begin{array}{l}\sin 3x - \cos 5x = 0\\ \Leftrightarrow \sin 3x = \cos 5x\\ \Leftrightarrow \cos 5x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \\5x =  - \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}\\x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

+) Độ sâu của mực nước là 15m thì h = 15.

Khi đó

 \(\begin{array}{l}15 = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \cos 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = k2\pi \\ \Leftrightarrow t = \frac{{6\left( {k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\end{array}\)

Vì \(0 \le t < 24\) nên

 \(\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( {k2\pi  - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 < k \le 2\end{array}\)

Lại do \(k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{{6\left( {2\pi  - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {4\pi  - 1} \right)}}{\pi }} \right\}\)

+) Độ sâu của mực nước là 9m thì h = 9.

Khi đó

 \(\begin{array}{l}9 = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \cos \pi \\ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = \pi  + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = \frac{{6\left( {k2\pi  + \pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\end{array}\)

Vì \(0 \le t < 24\) nên

 \(\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( {k2\pi  + \pi  - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 < k \le 1\end{array}\)

Lại do \(k \in Z \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = \frac{{6\left( {3\pi  - 1} \right)}}{\pi }\)

+) Độ sâu của mực nước là 10,5m thì h = 10,5.

Khi đó

 \(\begin{array}{l}10,5 = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \cos \frac{{2\pi }}{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} + 1 = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} + 1 =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\\t = \frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = \frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\)

Vì \(0 \le t < 24\) nên

 \(\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 \le k \le 2\end{array}\)

Lại do \(k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\} \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{8\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{14\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi }} \right\}\)

Với \(t = \frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\)

Vì \(0 \le t < 24\) nên

 \(\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 < k \le 2\end{array}\)

Lại do \(k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{4\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{10\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi }} \right\}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a) Hai vị trí \(O\) và \(A\) là hai vị trí chân cầu, tại hai vị trí này ta có: \(y = 0\)

\( \Leftrightarrow 4,8 \cdot \sin \frac{x}{9} = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{x}{9} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{9} = k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = 9k\pi (k \in \mathbb{Z})\)

Quan sát đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số \({\rm{y}} = 4,8 \cdot \sin \frac{x}{9}\) cắt trục hoành tại điểm 0 và \({\rm{A}}\) liên tiếp nhau với \(x \ge 0\).

Xét \({\rm{k}} = 0\), ta có \({{\rm{x}}_1} = 0\);

Xét \({\rm{k}} = 1\), ta có \({{\rm{x}}_2} = 9\pi \).

Mà \({x_1} = 0\) nên đây là hoành độ của 0 , do đó \({x_2} = 9\pi \) là hoành độ của điểm \(A\).

Khi đó \(OA = 9\pi  \approx 28,3\).

Vậy chiều rộng của con sông xấp xỉ 28,3 m.

b) Do sà lan có độ cao 3,6 m so với mực nước sông nên khi sà lan đi qua gầm cầu thì ứng với \({\rm{y}} = 3,6\).

\( \Leftrightarrow 4,8 \cdot \sin \frac{x}{9} = 3,6 \Leftrightarrow \sin \frac{x}{9} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\rm{x}}}{9} \approx 0,848 + {\rm{k}}2\pi }\\{\frac{{\rm{x}}}{9} \approx \pi  - 0,848 + {\rm{k}}2\pi }\end{array}} \right.\)

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp \(SHIFT\)\sin 3 \div 4 = ta được kết quả gần đúng là 0,85) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} \approx 7,632 + 18{\rm{k}}\pi }\\{{\rm{x}} \approx 9\pi  - 7,632 + 18{\rm{k}}\pi }\end{array}({\rm{k}} \in \mathbb{Z})} \right.\)

Xét \({\rm{k}} = 0\), ta có \({{\rm{x}}_1} \approx 7,632;{{\rm{x}}_2} \approx 20,642\).

Ta biểu diễn các giá trị \(x\) vừa tìm được trên hệ trục tọa độ vẽ đồ thị hàm số \(y = \) 4,8. \(\sin \frac{x}{9}\) như sau:

Khi đó để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì khối hàng hóa có độ cao 3,6 m phải có chiều rộng nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng \({\rm{BC}}\) trên hình vẽ.

Mà \(BC \approx 20,642 - 7,632 = 13,01(m) < 13,1(m)\).

Vậy chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 13,1 m.

c) Giả sử sà lan chở khối hàng được mô tả bởi hình chữ nhật MNPQ:

Khi đó \(QP = 9;OA = 28,3\) và \(OQ = PA\).

Mà \(OQ + QP + PA = OA \Rightarrow OQ + 9 + OQ \approx 28,3 \Rightarrow OQ \approx 9,65\)

Khi đó \({y_M} = 4,8 \cdot \sin \frac{{{x_M}}}{9} = 4,8 \cdot \sin \frac{{OQ}}{9} \approx 4,8 \cdot \sin \frac{{9,65}}{9} \approx 4,22(\;{\rm{m}}) < 4,3\) (m).

Vậy để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì chiều cao của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 4,3 m.

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)