Bài 7. Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{2}{{2,4}} = \frac{5}{6}\\\frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{5}{6}\end{array}\)

Vậy \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}}\)

b) Ta có: \(\widehat A = \widehat {A'} = 135^\circ \)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta thấy

\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\\\frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\end{array}\)

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có:

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\) và \(\widehat A = \widehat {A'}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\) (c-g-c)

\( \Rightarrow \)\(\widehat B = \widehat {B'},\,\,\widehat C = \widehat {C'}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta thấy

\(\begin{array}{l}\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{2}{3};\,\,\frac{{ON}}{{OB}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow \frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{ON}}{{OB}}\end{array}\)

Xét tam giác OAN và tam giác OMB có:

\(\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{ON}}{{OB}}\) và \(\widehat O\) chung

\( \Rightarrow \Delta OAN \backsim \Delta OMB\) (c-g-c)

\( \Rightarrow \widehat {OBM} = \widehat {ONA}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Xét tam giác A’B’C’ và tam giác ABC có:

\(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}}\) và \(\widehat {A'} = \widehat A = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC\) (c-g-c)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\)

Hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt vuông tại A và A’ nên \(\widehat {A'} = \widehat A = 90^\circ \).

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có:

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\) và \(\widehat {A'} = \widehat A\)

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\) (c-g-c)

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat {B'}\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{4}{3};\,\,\frac{{AC}}{{MP}} = \frac{5}{{3,75}} = \frac{4}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}}\)

Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

\(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}}\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {NMP} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta MNP\) (c-g-c)

b) Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\) (chứng minh ở câu a) nên \(\widehat N = \widehat B\).

c) Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\) (chứng minh ở câu a) nên \(\widehat C = \widehat P\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy \(\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};\,\,\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{IB}}{{IC}}\)

Mà \(\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\) (hai góc đối đỉnh)

Xét tam giác IAB và tam giác IDC có:

\(\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{IB}}{{IC}}\) và \(\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta IAB \backsim \Delta IDC\) (c-g-c)

b) Ta thấy \(\frac{{IA}}{{IB}} = \frac{2}{3};\,\,\frac{{ID}}{{IC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{ID}}{{IC}}\)

Mà \(\widehat {AID} = \widehat {BIC}\) (hai góc đối đỉnh)

Xét tam giác IAD và tam giác IBC có:

\(\frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{ID}}{{IC}}\) và \(\widehat {AID} = \widehat {BIC}\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta IAD \backsim \Delta IBC\) (c-g-c)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\frac{{AB}}{{EB}} = \frac{4}{2} = 2;\,\,\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{6}{3} = 2\)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{EB}} = \frac{{BD}}{{BC}}\)

Xét tam giác ABD và tam giác EBC có:

\(\frac{{AB}}{{EB}} = \frac{{BD}}{{BC}}\) và \(\widehat {ABD} = \widehat {EBC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta ABD \backsim \Delta EBC\) (c-g-c).

b) Vì \(\Delta ABD \backsim \Delta EBC\) nên \(\widehat {DAB} = \widehat {CEB}\)

Mà \(\widehat {DEG} = \widehat {CEB}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {DAB} = \widehat {DEG}\).

c) Vì \(\Delta ABD \backsim \Delta EBC\) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ECB}\) hay \(\widehat {GDE} = \widehat {ECB}\)

Vì tam giác EBC vuông tại B nên ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {ECB} + \widehat {CEB} = 90^\circ \\ \Rightarrow \widehat {GDE} + \widehat {DEG} = 90^\circ \end{array}\)

Mà trong tam giác DEG có:

\(\begin{array}{l}\widehat {GDE} + \widehat {DEG} + \widehat {DGE} = 180^\circ \\ \Rightarrow 90^\circ  + \widehat {DGE} = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat {DGE} = 90^\circ \end{array}\)

\( \Rightarrow \)Tam giác DGE vuông tại G.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};\,\,\frac{{AC}}{{DB}} = \frac{2,5}{5} = \frac{1}{2}\)                                         

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DB}}\)

Xét tam giác ABC và tam giác DEB có:

\(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DB}}\) và \(\widehat {CAB} = \widehat {BDE} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta DEB\) (c-g-c)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {BED}\)

b) Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta DEB\) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {DBE}\)

Mà tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DBE} + \widehat {ABC} = 90^\circ \)

Ta thấy

\(\begin{array}{l}\widehat {DBE} + \widehat {CBE} + \widehat {ABC} = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat {CBE} + 90^\circ  = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat {CBE} = 90^\circ \end{array}\)

Vậy \(BC \bot BE\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\) suy ra \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}}\,\,\left( 1 \right)\) và \(\widehat B = \widehat N\)

Mà D là trung điểm BC và Q là trung điểm NP nên \(BC = 2BD\) và \(NP = 2NQ\)

Thay vào biểu thức (1) ta được \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{2BD}}{{2NQ}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BD}}{{NQ}}\)

Xét tam giác ABD và tam giác MNQ có:

\(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BD}}{{NQ}}\) và \(\widehat B = \widehat N\)

\( \Rightarrow \Delta ABD \backsim \Delta MNQ\) (c-g-c)

b) Vì \(\Delta ABD \backsim \Delta MNQ\) nên ta có \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AD}}{{MQ}}\,\,\left( 2 \right)\) và \(\widehat {BAD} = \widehat {NMQ}\) hay \(\widehat {BAG} = \widehat {NMK}\)

Mà G và K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác MNP nên \(AD = \frac{3}{2}AG\) và \(MQ = \frac{3}{2}MK\).

Thay vào (2) ta được: \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{\frac{3}{2}AG}}{{\frac{3}{2}MK}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AG}}{{MK}}\)

Xét tam giác ABG và tam giác NMK có:

\(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AG}}{{MK}}\) và \(\widehat {BAG} = \widehat {NMK}\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta ABG \backsim \Delta MNK\) (c-g-c)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)