Bài 6. Vectơ trong không gian

Hướng dẫn giải

Công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng: Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v \), được xác định bởi công thức sau:  

\(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1. Khi đó, \(A'C' = B'D' = \sqrt 2 \)

Gọi E’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’ của hình vuông A’B’C’D’. Khi đó, E’ là trung điểm của A’C’ và B’D’. Suy ra \(\overrightarrow {B'D'}  = 2\overrightarrow {E'D'} \) và \(E'D' = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Gọi E là trung điểm của CC’. Mà E’ là trung điểm của A’C’ nên EE’ là đường trung bình của tam giác A’C’C. Do đó, \(\overrightarrow {A'C}  = 2\overrightarrow {E'E} \) và \(E'E = \frac{1}{2}A'C\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta \)A’C’C vuông tại C’ có: \(A'C = \sqrt {A'C{'^2} + C'{C^2}}  = \sqrt {2 + 1}  = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow E'E = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta \)D’C’E vuông tại C’ có:

\(ED{'^2} = C'D{'^2} + C'{E^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\)

Vì \(E'D{'^2} + E'{E^2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} = ED{'^2}\) nên \(\Delta \)E’D’E vuông tại E’. Do đó, \(\overrightarrow {E'E}  \bot \overrightarrow {E'D'} \)

Ta có: \(\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {B'D'}  = 2.\overrightarrow {E'E} .2.\overrightarrow {E'D'} \)\( = 0\) (đpcm)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Vì A’ABB’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b \)

b) Vì A’ABB’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow a \)

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

Vì C’CBB’ là hình bình hành nên

+ \(\overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow {BC}  =  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

+ \(\overrightarrow {B'C}  = \overrightarrow {B'C'}  + \overrightarrow {B'B}  =  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c  - \overrightarrow a \)

c) Vì C’CBB’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BC'}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  =  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c  + \overrightarrow a \)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Góc giữa hai vectơ cùng hướng bằng \({0^0}\).

Góc giữa hai vectơ ngược hướng bằng \({180^0}\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Giá của các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AE} \) cùng nằm trên mặt phẳng (ACDE). (1)

Vì DCAE là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành)

Vì các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên nên \(\overrightarrow {AD}  =  - \overrightarrow {AB} \), do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AB} \) có giá cùng nằm trên một mặt phẳng (ACDE). (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba vectơ \(\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {AE} \) và \(\overrightarrow {AB} \) có giá cùng nằm trên mặt phẳng (ACDE).

Vậy khi các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c ,\overrightarrow d \) và \(\overrightarrow e \) có cùng phương; các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c ,\overrightarrow d \) cùng hướng với nhau và ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow e \).

b) Vì trọng lực tác dụng lên bàn phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn nên các vectơ \(\overrightarrow b ,\overrightarrow c ,\overrightarrow d ,\overrightarrow e \) có độ lớn bằng nhau. Mà các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c ,\overrightarrow d \) cùng hướng với nhau. Do đó, các vectơ \(\overrightarrow b ,\overrightarrow c ,\overrightarrow d ,\overrightarrow e \) đôi một bằng nhau.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CD} \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AB} \) (đpcm)

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {DB}  + \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD} } \right).\overrightarrow {BC} \)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} \)

\( = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {BC} \left( {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BD} } \right) = 0\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Vì AA’//CC’ nên hai vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {C'C} \) ngược hướng nhau.

Suy ra, \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {C'C} } \right) = {180^0}\).

Do đó, \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {C'C}  = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {C'C} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {C'C} } \right) = 2.2.\cos {180^0} =  - 4\)

b) Vì A’ADD’ là hình chữ nhật nên \(\widehat {A'AD} = {90^0}\)

Vì ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} \). Do đó, \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {A'AD} = {90^0}\)

Ta có: \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD}  = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 2.1.\cos {90^0} = 0\)

c) Vì A’ABB’ là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {B'A'}  = \overrightarrow {BA} \).

Vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {CAB} = {45^0}\) và \(AC = \sqrt 2 \)

Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'A'}  =  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  =  - \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right) =  - \sqrt 2 .1.\cos {45^0} =  - 1\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Chứng minh: Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \)

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó, O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra \(\overrightarrow {OC}  =  - \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OD}  =  - \overrightarrow {OB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OC}  = 2\overrightarrow {SO}  + \left( {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OA} } \right) = 2\overrightarrow {SO} \)

\(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OD}  = 2\overrightarrow {SO}  + \left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OB} } \right) = 2\overrightarrow {SO} \)

Do đó, \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \)

Chứng minh: Nếu \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \) thì tứ giác ABCD là hình bình hành:

Ta có: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {SA}  - \overrightarrow {SB}  = \overrightarrow {SD}  - \overrightarrow {SC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} \)

Suy ra, hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

Suy ra, \(AB = CD,\) AB//CD. Khi đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD. Do đó, O là trung điểm của BD, O là trung điểm của AC.

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo BD là \(a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Gọi E là trung điểm của SC. Mà O là trung điểm của AC nên OE là đường trung bình của tam giác SAC, do đó, OE//SA, \(OE = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\). Suy ra: \(\overrightarrow {AS}  = 2\overrightarrow {OE} \)

Vì O là trung điểm của BD nên \(\overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {OB} \)

Vì tam giác SBC có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SBC là tam giác đều. Do đó, BE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SBC. Do đó, \(EB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(O{E^2} + O{B^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4} = E{B^2}\) nên \(\Delta \)EOB vuông tại O. Do đó, \(\overrightarrow {OE}  \bot \overrightarrow {OB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {OE} .\left( { - 2\overrightarrow {OB} } \right) =  - 4\overrightarrow {OE} .\overrightarrow {OB}  = 0\)

Tứ giác ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BA}  =  - \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AB}  =  - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AB} } \right) =  - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \widehat {SAB}\)

Vì tam giác SAB có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SAB đều, suy ra \(\widehat {SAB} = {60^0}\)

Suy ra: \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CD}  =  - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \widehat {SAB} =  - a.a.\cos {60^0} = \frac{{ - {a^2}}}{2}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)