Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

Gốm Bát Tràng là tên gọi chung của các loại đồ gốm Việt Nam được sản xuất tại làng Bát Tràng, thuộc xã Bát Tràng, huyện Gia Lâm, Hà Nội. Với hơn 700 năm tuổi, gốm Bát Tràng nổi tiếng ở trong và ngoài nước về chất lượng gốm và độ tinh xảo của các sản phẩm. Những chiếc chén uống trà Hình 10 có dạng khối tròn xoay.

Thể tích của các khối tròn xoay được tính như thế nào?

Cho hàm số y = f(x) = x³ – 2x² – x + 2 có đồ thị được minh họa ở Hình 11.

a) Quan sát Hình 11, hãy cho biết các hình phẳng H₁, H₂, H₃ lần lượt được giới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị hàm số nào.

b) Tính diện tích \(S_{H_1},S_{H_2},S_{H_3}\) của các hình phẳng đó.

c) Gọi H là tập hợp của các hình phẳng H₁, H₂, H₃. Hình phẳng H được gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x). trực hoành và các đường thẳng x = 0, x = 3. Chứng tỏ rằng diện tích sH của hình phẳng H bằng \(S_H=S_{H_1}+S_{H_2}+S_{H_3}=\int\limits^3_0\left|f\left(x\right)\right|dx\).

Cho các hàm số y = 2^x, y = x.

Gọi S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = 2^x.

Gọi S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = x.

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 2^x, y = x và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (Hình 14).

a) Biểu diễn S theo S₁, S₂.

b) So sánh S và \(\int\limits^2_1\left(2^x-x\right)dx\).

Cắt khối lập phương có cạnh bằng 1 bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x, với 0 ≤ x ≤ 1 ta nhận được hình phẳng có diện tích là S(x) (Hình 17).

a) Tính S(x).

b) So sánh thể tích khối lập phương đó với \(\int\limits^1_0S\left(x\right)dx\).

Cho khối chóp cụt đều tạo bởi khối chóp đỉnh S, diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và chiều cao h. Chọn trục Ox chứa đường cao của khối chóp và gốc O trùng với đỉnh S (Hình 21). Hai mặt phẳng đáy của khối chóp cụt đều lần lượt cắt Ox tại I và I'.

Đặt OI = b, OI' = a (a < b). Một mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại x (a ≤ x ≤ b), cắt khối chóp cụt đều theo hình phẳng có diện tích S(x). Người ta chứng minh rằng S(x) = \(B\dfrac{x^2}{b^2}\). Tính thể tích khối chóp cụt đều đó.

Xét nửa hình tròn tâm O, bán kính r (Hình 24). Nửa hình tròn đó là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x).

a) Tìm hàm số y = f(x).

b) Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành, ta nhận được hình cầu tâm O bán kính r (Hình 25). Xét điểm M(x; f(x)) (– r ≤ x ≤ r) nằm trên nửa đường tròn tâm O bán kính r. Gọi H(x; 0) là hình chiếu của điểm M trên trục Ox. Khi quay nửa hình tròn quanh trục hoành, đoạn thẳng HM tạo nên một hình tròn tâm H bán kính f(x).

Tính diện tích S(x) của hình tròn đó theo f(x).

Từ đó, sử dụng công thức tính thể tích vật thể, hãy tính thể tích V của hình cầu tâm O bán kính r.