Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a) \(y=x^2;y=x+2\)
b) \(y=\left|\ln x\right|;y=1\)
c) \(y=\left(x-6\right)^2;y=6x-x^2\)
Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học
Bài 1 (SGK trang 121)
Thảo luận (1)
Bài 2 (SGK trang 121)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=x^2+1\), tiếp tuyến với đường này tại điểm \(M\left(2;5\right)\) và trục Oy ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Bài 3 (SGK trang 121)
Parabol \(y=\dfrac{x^2}{2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt{2}\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Bài 4 (SGK trang 121)
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox :
a) \(y=1-x^2;y=0\)
b) \(y=\cos x;y=0;x=0;x=\pi\)
c) \(y=\tan x;y=0;x=0;x=\dfrac{\pi}{4}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Phương trình hoành độ giao điểm
1 - x2 = 0 ⇔ x = ±1.
Thể tích cần tìm là :
b) Thể tích cần tìm là :
c) Thể tích cần tìm là :
.
(Trả lời bởi Hai Binh)
Bài 5 (SGK trang 121)
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt widehat{POM}alpha;OMRleft(0lealphaledfrac{pi}{3};R0right)
Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (H.63)
a) Tính thể tích của V theo alpha và R
b) Tìm alpha sao cho thể tích của V lớn nhất
Đọc tiếp
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt \(\widehat{POM}=\alpha;OM=R\left(0\le\alpha\le\dfrac{\pi}{3};R>0\right)\)
Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (H.63)
a) Tính thể tích của V theo \(\alpha\) và R
b) Tìm \(\alpha\) sao cho thể tích của V lớn nhất
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Hoành độ điểm P là :
xp = OP = OM. cos α = R.cosα
Phương trình đường thẳng OM là y = tanα.x. Thể tích V của khối tròn xoay là:
b) Đặt t = cosα => t ∈
. (vì α ∈
), α = arccos t.
Ta có :
V' = 0 ⇔
hoặc
(loại).
Từ đó suy ra V(t) lớn nhất ⇔
, khi đó :
.
(Trả lời bởi Hiiiii~)
Bài 3.21 (Sách bài tập trang 184)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a) y2x-x^2;x+y2
b) yx^3-12x;yx^2
c) x+y1;x+y-1;x-y1;x-y-1
d) ydfrac{1}{1+x^2};ydfrac{1}{2}
e) yx^3-1 và tiếp tuyến với yx^3-1 tại điểm left(-1;-2right)
Đọc tiếp
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a) \(y=2x-x^2;x+y=2\)
b) \(y=x^3-12x;y=x^2\)
c) \(x+y=1;x+y=-1;x-y=1;x-y=-1\)
d) \(y=\dfrac{1}{1+x^2};y=\dfrac{1}{2}\)
e) \(y=x^3-1\) và tiếp tuyến với \(y=x^3-1\) tại điểm \(\left(-1;-2\right)\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Bài 3.22 (Sách bài tập trang 184)
Tính thể tích vật thể :
a) Có đáy là một tam giác cho bởi \(y=x;y=0;x=1\).Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông
b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi \(x^2+y^2=1\). Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Bài 3.23 (Sách bài tập trang 184)
Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi :
a) y2-x^2;y1, quanh trục Ox
b) y2x-x^2;yx, quanh trục Ox
c) yleft(2x+1right)^{dfrac{1}{3}};x0;y3, quanh trục Oy
d) yx^2+1;x0 và tiếp tuyến với yx^2+1 tại điểm left(1;2right), quanh trục Ox
e) yln x;y0;xe, quanh trục Oy
Đọc tiếp
Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi :
a) \(y=2-x^2;y=1\), quanh trục Ox
b) \(y=2x-x^2;y=x\), quanh trục Ox
c) \(y=\left(2x+1\right)^{\dfrac{1}{3}};x=0;y=3\), quanh trục Oy
d) \(y=x^2+1;x=0\) và tiếp tuyến với \(y=x^2+1\) tại điểm \(\left(1;2\right)\), quanh trục Ox
e) \(y=\ln x;y=0;x=e\), quanh trục Oy
Bài 3.24 (Sách bài tập trang 184)
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường ydfrac{1}{x};y0;x1;xa (a1)
Gọi thể tích đó là Vleft(aright). Xác định thể tích của vật thể khi arightarrow+infty (tức là limlimits_{arightarrow+infty}Vleft(aright)
Đọc tiếp
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\dfrac{1}{x};y=0;x=1;x=a\) (\(a>1\))
Gọi thể tích đó là \(V\left(a\right)\). Xác định thể tích của vật thể khi \(a\rightarrow+\infty\) (tức là \(\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}V\left(a\right)\)
Bài 3.25 (Sách bài tập trang 185)
Một hình phẳng được giới hạn bởi ye^{-x};y0;x0;x1
Ta chia đoạn left[0;1right] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như hình 80)
a) Tính diện tích S_n của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con)
b) Tìm limlimits_{nrightarrowinfty}S_n và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tính tích phân
Đọc tiếp
Một hình phẳng được giới hạn bởi \(y=e^{-x};y=0;x=0;x=1\)
Ta chia đoạn \(\left[0;1\right]\) thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như hình 80)
a) Tính diện tích \(S_n\) của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con)
b) Tìm \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n\) và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tính tích phân
