Bài 3. Định lí Viète

Hướng dẫn giải

Phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = \frac{{ - {b^2} + \sqrt \Delta  }}{{2a}}\); \({x_2} = \frac{{ - {b^2} - \sqrt \Delta  }}{{2a}}\).

\(\begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} + \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{ - 2b}}{{2a}} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}.{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}}.\frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{{b^2} - \Delta }}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - ({b^2} - 4ac)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\end{array}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a)   Phương trình có các hệ số: \(a =  - 4;b = 9;c = 1\)

\(\Delta  = {9^2} - 4.\left( { - 4} \right).1 = 97 > 0\)

Vì \(\Delta  > 0\)nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt (đpcm).

b)  Áp dụng Định lý Viète, ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 9}}{{ - 4}} = \frac{9}{4}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{{ - 4}} = \frac{{ - 1}}{4}\end{array}\)

c)   Ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2}\) (1)

Thay \({x_1} + {x_2} = \frac{9}{4},{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 1}}{4}\) vào (1) ta được:

\({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = {\left( {\frac{9}{4}} \right)^2} - 2.\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right) = \frac{{89}}{16}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Phương trình có các hệ số \(a = 4;b =  - 7;c = 3\).

Ta thấy: \(a + b + c = 4 - 7 + 3 = 0\) nên phương trình có nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = \frac{3}{4}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Phương trình có các hệ số \(a = 2;b =  - 9;c =  - 11.\)

Ta thấy \(a - b + c = 2 - ( - 9) - 11 = 0\) nên phương trình có nghiệm là \({x_1} =  - 1,{x_2} = \frac{{ - ( - 11)}}{2} = \frac{{11}}{2}.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a)  ĐK: \(x \in R\)

Vì hai số có tổng bằng 5 nên số còn lại là \(5 - x\).

b)  Hai số có tích bằng 6 nên ta được phương trình:

\(\begin{array}{l}x.(5 - x) = 6\\ - {x^2} + 5x = 6\\{x^2} - 5x + 6 = 0\end{array}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi 2 kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là \(x_1;x_2\) (m), \(x_1;x_2 > 0\)

Theo đề bài ta có: \(x_1 + x_2 = 68 : 2 = 34\) và \(x_1.x_2 = 240\)

Khi đó \(x_1;x_2\) là nghiệm của phương trình: \(x^2 - 34x + 240\)

Xét \(\Delta ' = (-17)^2 - 1.240 = 49 > 0.\)

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \frac{-(-17) + \sqrt {49}}{1} = 24\); \(x_2 = \frac{-(-17) - \sqrt {49}}{1} = 10\) (TM)

Vậy chiều dài là 24m, chiều rộng là 10m.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Đáp án D.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án a) và c).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Xét phương trình có 2 nghiệm phân biệt có \(ac < 0\) do đó a và c trái dấu, suy ra \({x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} < 0\)

Vậy nếu \(ac < 0\) thì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có 2 nghiệm là 2 số trái dấu nhau.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a)   Phương trình có các hệ số \(a = 2;b =  - 3;c =  - 6\).

\(\Delta  = {( - 3)^2} - 4.2.( - 6) = 57 > 0\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b)  Áp dụng định lý Viète, ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - ( - 3)}}{2} = \frac{3}{2};{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 6}}{2} =  - 3.\)

Vì \({x_1}.{x_2} =  - 3 < 0\) nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

Vậy cả 2 nghiệm đều khác 0.

c)   \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{3}{2}:\left( { - 3} \right) = \frac{{ - 1}}{2}.\)

d)  \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 2.\left( { - 3} \right) = \frac{{33}}{4}.\)

e)   Xét \({\left( {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|} \right)^2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \)

\(= {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 4.\left( { - 3} \right) = \frac{{57}}{4}.\)

Vậy \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}^2}}  = \frac{{\sqrt {57} }}{2}.\)

(Trả lời bởi datcoder)