Em hãy chỉ ra các đường trung bình của ∆DEF và ∆IHK trong Hình 4.14.
Bài 16. Đường trung bình của tam giác
Câu hỏi (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 81)
Thảo luận (2)
Hoạt động 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 82)
Cho DE là đường trung bình của tam giác ABC (H.4.15)
Sử dụng định lí Thalès đảo, chứng minh rằng DE // BC.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có AD = BD và D ∈ AB nên D là trung điểm của AB;
AE = EC và E ∈ AC nên E là trung điểm của AC.
Xét tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC, theo định lí Thalès đảo, ta suy ra DE // BC (đpcm).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Hoạt động 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 82)
Cho DE là đường trung bình của tam giác ABC (H.4.15)
Gọi F là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác DEFB là hình bình hành. Từ đó suy ra DE = \(\frac{1}{2}\)BC
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiChứng minh tương tự HĐ1, ta có EF // AB.
Xét tam giác DEFB có DE // BF, EF // BD
=> DEFB là hình bình hành.
=> DE = BF (hai cạnh tương ứng)
Mà F là trung điểm của BC => BF = \(\frac{1}{2}\)BC
=> DE = \(\frac{1}{2}\)BC
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Luyện tập (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 83)
Cho tam giác ABC cân tại A, D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tứ giác DECB là hình gì? Tại sao?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTam giác ABC cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C\)
Vì D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra DE // BC nên tứ giác DECB là hình thang.
Hình thang DECB có \(\widehat B = \widehat C\) nên tứ giác DECB là hình thang cân.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Vận dụng (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 83)
Cho B và C là hai điểm cách nhau bởi một hồ nước như Hình 4.12 với D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết DE = 500 m, liệu không cần đo trực tiếp, ta có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm B và C không?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTrong tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC nên D ∈ AB; E ∈ AC và AD = BD; AE = EC.
Suy ra DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\) suy ra BC = 2DE = 2 . 500 = 1 000 (m)
Vậy khoảng cách giữa hai điểm B và C bằng 1 000 m.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 4.6 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 83)
Tính các độ dài x, y trong Hình 4.18.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia. Do H, K lần lượt là trung điểm cạnh DF, EF
⇒ HK là đường trung bình của tam giác DEF.
⇒ DE = 2 HK = 2 \(\times\) 3 = 6.
b. Do M là trung điểm cạnh AB mà MN // AC (cùng vuông góc với AB)
⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC.
⇒ N là trung điểm của cạnh BC
⇒ y = NB = NC = 5.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 4.7 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 83)
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.
a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.
b) Tứ giác MNPB là hình gì? Tại sao?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN // BC hay MN // BP.
Tứ giác BMNC có MN // BP nên tứ giác BMNC là hình thang (đpcm).
b) Vì N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC nên NP là đường trung bình của tam giác ABC suy ra NP // AB hay NP // MB.
Tứ giác MNPB có MN // BP; BM // NP (chứng minh trên).
Do đó, tứ giác MNPB là hình bình hành.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 4.8 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 83)
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Lấy điểm D và E trên cạnh AB sao cho AD = DE = EB và D nằm giữa hai điểm A, E.
a) Chứng minh DC // EM.
b) DC cắt AM tại I. Chứng minh I là trung điểm của AM.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.
Ta có BE = DE và E ∈ BD nên E là trung điểm của BD.
Xét tam giác BCD có E, M lần lượt là trung điểm của BD, BC nên EM là đường trung bình của tam giác BCD.
Do đó DC // EM (tính chất đường trung bình).
b) Ta có D là trung điểm của AE (vì AD = DE, D ∈ AE).
Mà DI // EM (vì DC // EM).
Do đó DI là đường trung bình của tam giác AEM.
Suy ra I là trung điểm của AM.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 4.9 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 83)
Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh tứ giác AHOK là hình chữ nhật.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiVì ABCD là hình chữ nhật nên \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {90^o}\) và hai đường chéo AC, BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Suy ra AB ⊥ AD; O là trung điểm của AC và BD.
Vì O, H lần lượt là trung điểm của BD và AB nên OH là đường trung bình của tam giác ABD.
Suy ra OH // AD mà AB ⊥ AD nên OH ⊥ AB hay \(\widehat {AHO} = {90^o}\)
Tương tự, ta chứng minh được: OK ⊥ AD hay \(\widehat {AK{\rm{O}}} = {90^o}\).
Ta có: \(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {AHO} + \widehat {AK{\rm{O}}} + \widehat {HOK} = {360^o}\)
90°+90°+90°+\(\widehat {HOK}\)=360°
270°+\(\widehat {HOK}\)=360°
Suy ra \(\widehat {HOK}\)=360°−270°=90°
Tứ giác AHOK có \(\widehat {BA{\rm{D}}}\)=90°;ˆAHO=90°; \(\widehat {AHO}\)=90°;\(\widehat {AK{\rm{O}}}\)=90o
Do đó, tứ giác AHOK là hình chữ nhật.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)