Cho hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Gọi A’, B’ là các điểm sao cho O là trung điểm của AA’, BB’. Chứng minh rằng A’B’ = AB và đường thẳng A’B’ song song với đường thẳng AB.
Bài 12. Hình bình hành
Luyện tập 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 61)
Thảo luận (1)
Vận dụng (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 61)
Trở lại bài toán mở đầu. Em hãy vẽ hình và nêu cách vẽ con đường cần mở đi qua O sao cho theo con đường đó, hai đoạn đường từ O tới a và tới b bằng nhau.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi điểm giao nhau giữa hai đường thẳng a và b là điểm O
- Vẽ tia Ax đi qua điểm O. Trên tia Ax lấy điểm B sao cho OA = OB.
- Qua B vẽ tia By // Ab; Bz // Aa cắt hai tia Aa và Bb lần lượt tại hai điểm C và D.
Khi đó, tứ giác ACBD là hình bình hành (vì AC // BD; AD // BC) có O là trung điểm AB nên O là trung điểm của CD.
Hai đoạn đường từ điểm O đến con đường a và b bằng nhau, tức là OC = OD.
Vậy con đường cần mở đường thẳng đi qua hai điểm C và D.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 3.13 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 61)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?
a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.
c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành là khẳng định đúng vì khi đó tứ giác có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân hoặc hình bình hành.
Vậy khẳng định b) sai.
c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song hay có hai cặp cạnh đối song song nên tứ giác đó là hình bình hành.
Vậy khẳng định c) đúng.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 3.154 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 61)
Tính các góc còn lại của hình bình hành ABCD trong Hình 3.35.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiVì ABCD là hình bình hành nên: \(\widehat A = \widehat C;\widehat B = \widehat D\) ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat A = \widehat C = {100^o}\\\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^o}\\{100^o} + \widehat B + {100^o} + \widehat B = {360^o}\\2\widehat B + {200^o} = {360^o}\end{array}\)
Suy ra: \(2\widehat B = {360^o} - {200^o} = {160^o}\)
Do đó: \(\widehat B = {80^o}\) suy ra: \(\widehat B = \widehat D = {80^o}\)
Vậy các góc của hình bình hành ABCD là: \(\widehat A = {100^o};\widehat C = {100^o};\widehat B = {80^o};\widehat D = {80^o}\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 3.15 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 61)
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh BF = DE.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiVì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.
Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE, CF = DF.
Do đó AE = BE = CF = DF.
Xét tứ giác BEDF có:
BE = DF (chứng minh trên);
BE // DF (vì AB // CD)
Do đó tứ giác BEDF là hình bình hành.
Suy ra BF = DE (đpcm).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 3.16 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 61)
Trong mỗi trường hợp sau đây, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không là hình bình hành? Vì sao?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải* Hình 3.36a)
Xét tứ giác ABCD có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^o}\)
100°+80°+100°+\(\widehat D = {360^o}\)
280°+\(\widehat D\)=360°
Suy ra \(\widehat D\)=360°−280°=80°Tứ giác ABCD có: \(\widehat A = \widehat C\)=100°; \(\widehat B = \widehat D\)=80°
Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.
* Hình 3.36b)
Xét tứ giác ABCD có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^o}\)
75°+\(\widehat B\)+75°+90°=360°
240°+\(\widehat B\)=360°
Suy ra \(\widehat B\)=360°−240°=120°Tứ giác ABCD có: \(\widehat A = \widehat C\)=100° nhưng \(\widehat B \ne \widehat D\)(120°≠90°)
Do đó, tứ giác ABCD không là hình bình hành.
* Hình 3.36c)
Xét tứ giác ABCD có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^o}\)
70°+110°+\(\widehat C\)+110°=360°
\(\widehat C\)+290°=360o
Suy ra \(\widehat C\)=360°−290°=70°Tứ giác ABCD có: \(\widehat A = \widehat C\)=70°; \(\widehat B = \widehat D\)=110°
Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.
Vậy tứ giác ABCD trong Hình 3.36a) và 3.36c) là hình bình hành; tứ giác ABCD trong Hình 3.36b) không là hình bình hành.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài .17 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 61)
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:
a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành;
b) EF = AD, AF = EC.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.
Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE, CF = DF.
Do đó AE = BE = CF = DF.
• Xét tứ giác AEFD có:
AE // DF (vì AB // CD);
AE = DF (chứng minh trên)
Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.
• Xét tứ giác AECF có:
AE // CF (vì AB // CD);
AE = CF (chứng minh trên)
Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.
Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.
b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.
Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.
Vậy EF = AD, AF = EC.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 3.18 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 61)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N. Chứng minh ∆OAM = ∆OCN. Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiVì ABCD là hình bình hành nên ta có:
• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.
• AB // CD nên AM // CN suy ra \(\widehat {OAM} = \widehat {OCN}\) (hai góc so le trong).
Xét ∆OAM và ∆OCN có:
\(\widehat {OAM} = \widehat {OCN}\) (chứng minh trên)
OA = OC (chứng minh trên)
\(\widehat {AOM} = \widehat {CON}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).
Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)
Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.
Suy ra BM = DN.
Xét tứ giác MBND có:
• BM // DN (vì AB // CD)
• BM = DN (chứng minh trên)
Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)