Question

xét phương trình bậc hai ax²+bx+c=0 có hai nghiệm thuộc [0, 2]. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=(8a²-6ab+b²)/(4a²-2ab+ac)

Answer 1

Theo Vi- ét ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\end{matrix}\right.\)

Suy ra: P = \(\dfrac{8+6\left(x_1+x_2\right)+\left(x_1+x_2\right)^2}{4+2\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}\)

Giả sử 0 \(\le x_1\le x_2\le2\) ta có: \(x_1^2\le x_1x_2\); x_2² \(\le4\)

Do đó: \(x_1^2+x_2^2\le x_1x_2+4\) suy ra \(x_1^2+x^2_2+2x_1x_2\le4+3x_1x_2\)

hay \(\left(x_1+x_2\right)^2\le4+3x_1x_2\)

Suy ra P \(\le\dfrac{8+6\left(x_1+x_2\right)+4+3x_1x_2}{4+2\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}\) = 3