Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Xuan Xuannajimex

Xét hai số thực dương a, b thỏa mãn \(a^2+b^2\le2\). Chứng minh \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\le\frac{2}{1+ab}\)

Nguyễn Việt Lâm
5 tháng 6 2020 lúc 21:33

\(2\ge a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow ab\le1\)

Ta có:

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{2}{1+ab}=\frac{a^2+b^2+2}{a^2b^2+a^2+b^2+1}-\frac{2}{1+ab}\)

\(=\frac{\left(ab+1\right)\left(a^2+b^2+2\right)-2a^2b^2-a^2-b^2-2}{\left(1+ab\right)\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}=\frac{ab\left(a^2+b^2\right)-2a^2b^2+2ab-a^2-b^2}{\left(1+ab\right)\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\)

\(=\frac{ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a-b\right)^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}=\frac{\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\le0;\forall ab\le1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\le\frac{2}{1+ab}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)


Các câu hỏi tương tự
Min
Xem chi tiết
tran thi mai anh
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Vua Phá Lưới
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Tranh Diệp Phi
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết