Thực hiện phép cộng VT :
\(\frac{\left(ax+b\right)\left(x-1\right)+c\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{ax^2-ax+bx-b+cx^2+c}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{\left(a+c\right)x^2+\left(b-a\right)x+\left(c-b\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}\)
Đồng nhất phân thức trên với phân thức \(\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}\),ta được :
\(\begin{cases}a+c=0\\b-a=0\\c-b=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}c+b=0\\c-b=1\end{cases}\)
\(\Rightarrow c=\frac{1}{2};b=-\frac{1}{2}\)
Do đó : \(a=-\frac{1}{2}\).
Như vậy \(\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}{x^2+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}\)
