Lời giải:
ĐK: \(x\geq -1\)
Ta có: \(x^2+\sqrt{x+1}=1\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=1-x^2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=(1-x)(1+x)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x+1}[1-(1-x)\sqrt{x+1}]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=0\left(1\right)\\1-\left(1-x\right)\sqrt{x+1}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
(1) \(\Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)
\((2)\Leftrightarrow (1-x)\sqrt{x+1}=1\Leftrightarrow 1-x=\frac{1}{\sqrt{x+1}}\)
Từ đây suy ra \(1-x>0\Leftrightarrow x<1\). Bình phương hai vế:
\((1-x)^2=\frac{1}{x+1}\Leftrightarrow (x-1)(x^2-1)=1\)
\(\Leftrightarrow x^3-x^2-x=0\)
\(\Leftrightarrow x(x^2-x-1)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2-x-1=0\end{matrix}\right.\)
Với x=0 ta thấy thỏa mãn
Với \(x^2-x-1=0\Leftrightarrow \) \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) (loại vì \(x<1 \) ) hoặc \(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) (thỏa mãn)
Vậy \(x\in\left\{-1;\frac{1-\sqrt{5}}{2}; 0\right\}\)
Em có cách khác:
\(x^2+\sqrt{x+1}=1\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+1}=1-x^2\)
\(\Rightarrow x+1=1-2x^2+x^4\)
\(\Rightarrow x+1-1=1-2x^2+x^4-1\)
\(\Rightarrow x=-2x^2+x^4\)
\(\Rightarrow x^4-2x^2-x=0\)
\(\Rightarrow x^2\left(x^2-2-\dfrac{1}{x}\right)=0\)
\(\Rightarrow x=0\)
