Lời giải:
Ta có:
$P=(x-2\sqrt{xy}+y)+2x-2\sqrt{x}+2010,5$
$=(x-2\sqrt{xy}+y)+2(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4})+2010$
$=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+2(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2+2010\geq 2010$
Vậy $P_{\min}=2010$. Giá trị này xác định tại \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-\sqrt{y}=0\\ \sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy+yz+zx=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{3x+3y+3z}{\sqrt{6\left(x^2+5\right)}+\sqrt{6\left(y^2+5\right)}+\sqrt{6\left(z^2+5\right)}}\)
Cho các số thực dương x;y thỏa mãn: \(6x+9-\sqrt{y}.\left(y+1\right)=3y-\left(2x+4\right).\sqrt{2x+3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(D=xy+3y-4x^2-3\)
cho các số thực x,y,,z≥0 thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất cảu biểu thức \(P=\sqrt{x^2-6x+25}+\sqrt{y^2-6y+25}+\sqrt{z^2-6z+25}\)
Với các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
Cho biểu thức: P = (\(\frac{2}{\sqrt{xy}}\) + \(\frac{1}{x}\)+ \(\frac{1}{y}\)). \(\frac{\sqrt{xy}\left(x+y\right)-xy}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}\) (với x > 0; y > 0)
1. Rút gọn biểu thức P
2. Biết xy = 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Cho biểu thức K=\(\dfrac{y}{\sqrt{xy}-x}+\dfrac{x}{\sqrt{xy}+y}-\dfrac{x+y}{\sqrt{xy}}\left(x>y>0\right)\)
a, rút gọn biểu thức K
b, Tính giá trị của K biết \(2x^2+2y^2=5xy\)
c, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=\(x^2-\dfrac{K}{y\left(x+y\right)}\)
Với x, y không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
\(P=x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+2009,5\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\)với x > 0; y > 0; z > 0 và \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1\)
Cho các số dương x,y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\sqrt{4\left(x^2+xy+y^2\right)+9}-\sqrt{2xy}-\dfrac{x+y}{\sqrt{2}}\)
